פתור את {l}{10x+2y=50}{7x+2y=20}

$$\left. \begin{array} { l } { 10 x + 2 y = 50 } \\ { 7 x + 2 y = 20 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=10$$

$$y=-25$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$10x+2y=50,7x+2y=20$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$10x+2y=50$$

החסר ‎2y משני אגפי המשוואה.

$$10x=-2y+50$$

חלק את שני האגפים ב- ‎10.

$$x=\frac{1}{10}\left(-2y+50\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{10} ב- ‎-2y+50.

$$x=-\frac{1}{5}y+5$$

השתמש ב- ‎-\frac{y}{5}+5 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎7x+2y=20.

$$7\left(-\frac{1}{5}y+5\right)+2y=20$$

הכפל את ‎7 ב- ‎-\frac{y}{5}+5.

$$-\frac{7}{5}y+35+2y=20$$

הוסף את ‎-\frac{7y}{5} ל- ‎2y.

$$\frac{3}{5}y+35=20$$

החסר ‎35 משני אגפי המשוואה.

$$\frac{3}{5}y=-15$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{3}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-25$$

השתמש ב- ‎-25 במקום y ב- ‎x=-\frac{1}{5}y+5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-25\right)+5$$

הכפל את ‎-\frac{1}{5} ב- ‎-25.

$$x=5+5$$

הוסף את ‎5 ל- ‎5.

$$x=10$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=10,y=-25$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$10x+2y=50,7x+2y=20$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}10&2\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}10&2\\7&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&2\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{10\times 2-2\times 7}&-\frac{2}{10\times 2-2\times 7}\\-\frac{7}{10\times 2-2\times 7}&\frac{10}{10\times 2-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{7}{6}&\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 50-\frac{1}{3}\times 20\\-\frac{7}{6}\times 50+\frac{5}{3}\times 20\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-25\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=10,y=-25$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$10x+2y=50,7x+2y=20$$

החסר את ‎7x+2y=20 מ- ‎10x+2y=50 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$10x-7x+2y-2y=50-20$$

הוסף את ‎2y ל- ‎-2y. האיברים ‎2y ו- ‎-2y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$10x-7x=50-20$$

הוסף את ‎10x ל- ‎-7x.

$$3x=50-20$$

הוסף את ‎50 ל- ‎-20.

$$3x=30$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=10$$

השתמש ב- ‎10 במקום x ב- ‎7x+2y=20. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$7\times 10+2y=20$$

הכפל את ‎7 ב- ‎10.

$$70+2y=20$$

החסר ‎70 משני אגפי המשוואה.

$$2y=-50$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$y=-25$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=10,y=-25$$