פתור את {l}{1c+1V=16500}{2c+3V=40500}

$$\left. \begin{array} { l } { 1 c + 1 V = 16500 } \\ { 2 c + 3 V = 40500 } \end{array} \right.$$

פתור עבור c, V

$$c=9000$$

$$V=7500$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$c+V=16500,2c+3V=40500$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור c על-ידי בידוד c בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$c+V=16500$$

החסר ‎V משני אגפי המשוואה.

$$c=-V+16500$$

השתמש ב- ‎-V+16500 במקום ‎c במשוואה השניה, ‎2c+3V=40500.

$$2\left(-V+16500\right)+3V=40500$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-V+16500.

$$-2V+33000+3V=40500$$

הוסף את ‎-2V ל- ‎3V.

$$V+33000=40500$$

החסר ‎33000 משני אגפי המשוואה.

$$V=7500$$

השתמש ב- ‎7500 במקום V ב- ‎c=-V+16500. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את c ישירות.

$$c=-7500+16500$$

הוסף את ‎16500 ל- ‎-7500.

$$c=9000$$

המערכת נפתרה כעת.

$$c=9000,V=7500$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$c+V=16500,2c+3V=40500$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\V\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16500\\40500\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\V\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16500\\40500\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\V\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16500\\40500\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}c\\V\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16500\\40500\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}c\\V\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-2}&-\frac{1}{3-2}\\-\frac{2}{3-2}&\frac{1}{3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16500\\40500\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}c\\V\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16500\\40500\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}c\\V\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 16500-40500\\-2\times 16500+40500\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}c\\V\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9000\\7500\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה c ו- V.

$$c=9000,V=7500$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$c+V=16500,2c+3V=40500$$

כדי להפוך את ‎c ו- ‎2c לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$2c+2V=2\times 16500,2c+3V=40500$$

פשט.

$$2c+2V=33000,2c+3V=40500$$

החסר את ‎2c+3V=40500 מ- ‎2c+2V=33000 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$2c-2c+2V-3V=33000-40500$$

הוסף את ‎2c ל- ‎-2c. האיברים ‎2c ו- ‎-2c מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$2V-3V=33000-40500$$

הוסף את ‎2V ל- ‎-3V.

$$-V=33000-40500$$

הוסף את ‎33000 ל- ‎-40500.

$$-V=-7500$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$V=7500$$

השתמש ב- ‎7500 במקום V ב- ‎2c+3V=40500. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את c ישירות.

$$2c+3\times 7500=40500$$

הכפל את ‎3 ב- ‎7500.

$$2c+22500=40500$$

החסר ‎22500 משני אגפי המשוואה.

$$2c=18000$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$c=9000$$

המערכת נפתרה כעת.

$$c=9000,V=7500$$