פתור את {l}{0.5x+y=9}{1.6x+0.2y=13}

$$\left. \begin{array} { l } { 0.5 x + y = 9 } \\ { 1.6 x + 0.2 y = 13 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{112}{15} = 7\frac{7}{15} \approx 7.466666667$$

$$y = \frac{79}{15} = 5\frac{4}{15} \approx 5.266666667$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$0.5x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$0.5x+y=9$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$0.5x=-y+9$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=2\left(-y+9\right)$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-y+9.

$$x=-2y+18$$

השתמש ב- ‎-2y+18 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎1.6x+0.2y=13.

$$1.6\left(-2y+18\right)+0.2y=13$$

הכפל את ‎1.6 ב- ‎-2y+18.

$$-3.2y+28.8+0.2y=13$$

הוסף את ‎-\frac{16y}{5} ל- ‎\frac{y}{5}.

$$-3y+28.8=13$$

החסר ‎28.8 משני אגפי המשוואה.

$$-3y=-15.8$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-3.

$$y=\frac{79}{15}$$

השתמש ב- ‎\frac{79}{15} במקום y ב- ‎x=-2y+18. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-2\times \frac{79}{15}+18$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎\frac{79}{15}.

$$x=-\frac{158}{15}+18$$

הוסף את ‎18 ל- ‎-\frac{158}{15}.

$$x=\frac{112}{15}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{112}{15},y=\frac{79}{15}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$0.5x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

עבור מטריצת 2\times 2 ‎\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)‎, המטריצה ההפוכה היא ‎\left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)‎, כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.2}{0.5\times 0.2-1.6}&-\frac{1}{0.5\times 0.2-1.6}\\-\frac{1.6}{0.5\times 0.2-1.6}&\frac{0.5}{0.5\times 0.2-1.6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{15}&\frac{2}{3}\\\frac{16}{15}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{15}\times 9+\frac{2}{3}\times 13\\\frac{16}{15}\times 9-\frac{1}{3}\times 13\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{112}{15}\\\frac{79}{15}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{112}{15},y=\frac{79}{15}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$0.5x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

כדי להפוך את ‎\frac{x}{2} ו- ‎\frac{8x}{5} לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1.6 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎0.5.

$$1.6\times 0.5x+1.6y=1.6\times 9,0.5\times 1.6x+0.5\times 0.2y=0.5\times 13$$

פשט.

$$0.8x+1.6y=14.4,0.8x+0.1y=6.5$$

החסר את ‎0.8x+0.1y=6.5 מ- ‎0.8x+1.6y=14.4 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$0.8x-0.8x+1.6y-0.1y=14.4-6.5$$

הוסף את ‎\frac{4x}{5} ל- ‎-\frac{4x}{5}. האיברים ‎\frac{4x}{5} ו- ‎-\frac{4x}{5} מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$1.6y-0.1y=14.4-6.5$$

הוסף את ‎\frac{8y}{5} ל- ‎-\frac{y}{10}.

$$1.5y=14.4-6.5$$

הוסף את ‎14.4 ל- ‎-6.5 על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$1.5y=7.9$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎1.5, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{79}{15}$$

השתמש ב- ‎\frac{79}{15} במקום y ב- ‎1.6x+0.2y=13. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$1.6x+0.2\times \frac{79}{15}=13$$

הכפל את ‎0.2 ב- ‎\frac{79}{15} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$1.6x+\frac{79}{75}=13$$

החסר ‎\frac{79}{75} משני אגפי המשוואה.

$$1.6x=\frac{896}{75}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎1.6, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=\frac{112}{15}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{112}{15},y=\frac{79}{15}$$