פתור את {l}{0.4x+0.6y=-760}{-0.8x-0.3y=800}

$$\left. \begin{array} { l } { 0.4 x + 0.6 y = - 760 } \\ { - 0.8 x - 0.3 y = 800 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-700$$

$$y=-800$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$0.4x+0.6y=-760,-0.8x-0.3y=800$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$0.4x+0.6y=-760$$

החסר ‎\frac{3y}{5} משני אגפי המשוואה.

$$0.4x=-0.6y-760$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎0.4, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=2.5\left(-0.6y-760\right)$$

הכפל את ‎2.5 ב- ‎-\frac{3y}{5}-760.

$$x=-1.5y-1900$$

השתמש ב- ‎-\frac{3y}{2}-1900 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-0.8x-0.3y=800.

$$-0.8\left(-1.5y-1900\right)-0.3y=800$$

הכפל את ‎-0.8 ב- ‎-\frac{3y}{2}-1900.

$$1.2y+1520-0.3y=800$$

הוסף את ‎\frac{6y}{5} ל- ‎-\frac{3y}{10}.

$$0.9y+1520=800$$

החסר ‎1520 משני אגפי המשוואה.

$$0.9y=-720$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎0.9, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-800$$

השתמש ב- ‎-800 במקום y ב- ‎x=-1.5y-1900. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-1.5\left(-800\right)-1900$$

הכפל את ‎-1.5 ב- ‎-800.

$$x=1200-1900$$

הוסף את ‎-1900 ל- ‎1200.

$$x=-700$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-700,y=-800$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$0.4x+0.6y=-760,-0.8x-0.3y=800$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}0.4&0.6\\-0.8&-0.3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-760\\800\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}0.4&0.6\\-0.8&-0.3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.6\\-0.8&-0.3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.4&0.6\\-0.8&-0.3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.6\\-0.8&-0.3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-760\\800\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.6\\-0.8&-0.3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-760\\800\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.6\\-0.8&-0.3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-760\\800\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{0.3}{0.4\left(-0.3\right)-0.6\left(-0.8\right)}&-\frac{0.6}{0.4\left(-0.3\right)-0.6\left(-0.8\right)}\\-\frac{-0.8}{0.4\left(-0.3\right)-0.6\left(-0.8\right)}&\frac{0.4}{0.4\left(-0.3\right)-0.6\left(-0.8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-760\\800\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{6}&-\frac{5}{3}\\\frac{20}{9}&\frac{10}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-760\\800\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{6}\left(-760\right)-\frac{5}{3}\times 800\\\frac{20}{9}\left(-760\right)+\frac{10}{9}\times 800\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-700\\-800\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-700,y=-800$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$0.4x+0.6y=-760,-0.8x-0.3y=800$$

כדי להפוך את ‎\frac{2x}{5} ו- ‎-\frac{4x}{5} לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-0.8 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎0.4.

$$-0.8\times 0.4x-0.8\times 0.6y=-0.8\left(-760\right),0.4\left(-0.8\right)x+0.4\left(-0.3\right)y=0.4\times 800$$

פשט.

$$-0.32x-0.48y=608,-0.32x-0.12y=320$$

החסר את ‎-0.32x-0.12y=320 מ- ‎-0.32x-0.48y=608 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-0.32x+0.32x-0.48y+0.12y=608-320$$

הוסף את ‎-\frac{8x}{25} ל- ‎\frac{8x}{25}. האיברים ‎-\frac{8x}{25} ו- ‎\frac{8x}{25} מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-0.48y+0.12y=608-320$$

הוסף את ‎-\frac{12y}{25} ל- ‎\frac{3y}{25}.

$$-0.36y=608-320$$

הוסף את ‎608 ל- ‎-320.

$$-0.36y=288$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-0.36, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-800$$

השתמש ב- ‎-800 במקום y ב- ‎-0.8x-0.3y=800. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-0.8x-0.3\left(-800\right)=800$$

הכפל את ‎-0.3 ב- ‎-800.

$$-0.8x+240=800$$

החסר ‎240 משני אגפי המשוואה.

$$-0.8x=560$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-0.8, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=-700$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-700,y=-800$$