פתור את {l}{0.2x+0.1y=-180}{-0.7x-0.2y=480}{text{Thesolutionis}}

$$\left. \begin{array} { l } { 0.2 x + 0.1 y = - 180 } \\ { - 0.7 x - 0.2 y = 480 } \\ { \text { The solution is } } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-400$$

$$y=-1000$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$0.2x+0.1y=-180,-0.7x-0.2y=480$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$0.2x+0.1y=-180$$

החסר ‎\frac{y}{10} משני אגפי המשוואה.

$$0.2x=-0.1y-180$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=5\left(-0.1y-180\right)$$

הכפל את ‎5 ב- ‎-\frac{y}{10}-180.

$$x=-0.5y-900$$

השתמש ב- ‎-\frac{y}{2}-900 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-0.7x-0.2y=480.

$$-0.7\left(-0.5y-900\right)-0.2y=480$$

הכפל את ‎-0.7 ב- ‎-\frac{y}{2}-900.

$$0.35y+630-0.2y=480$$

הוסף את ‎\frac{7y}{20} ל- ‎-\frac{y}{5}.

$$0.15y+630=480$$

החסר ‎630 משני אגפי המשוואה.

$$0.15y=-150$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎0.15, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-1000$$

השתמש ב- ‎-1000 במקום y ב- ‎x=-0.5y-900. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-0.5\left(-1000\right)-900$$

הכפל את ‎-0.5 ב- ‎-1000.

$$x=500-900$$

הוסף את ‎-900 ל- ‎500.

$$x=-400$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-400,y=-1000$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$0.2x+0.1y=-180,-0.7x-0.2y=480$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}0.2&0.1\\-0.7&-0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-180\\480\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}0.2&0.1\\-0.7&-0.2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.2&0.1\\-0.7&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.2&0.1\\-0.7&-0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.2&0.1\\-0.7&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-180\\480\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.2&0.1\\-0.7&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-180\\480\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.2&0.1\\-0.7&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-180\\480\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{0.2}{0.2\left(-0.2\right)-0.1\left(-0.7\right)}&-\frac{0.1}{0.2\left(-0.2\right)-0.1\left(-0.7\right)}\\-\frac{-0.7}{0.2\left(-0.2\right)-0.1\left(-0.7\right)}&\frac{0.2}{0.2\left(-0.2\right)-0.1\left(-0.7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-180\\480\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{3}&-\frac{10}{3}\\\frac{70}{3}&\frac{20}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-180\\480\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{3}\left(-180\right)-\frac{10}{3}\times 480\\\frac{70}{3}\left(-180\right)+\frac{20}{3}\times 480\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-400\\-1000\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-400,y=-1000$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$0.2x+0.1y=-180,-0.7x-0.2y=480$$

כדי להפוך את ‎\frac{x}{5} ו- ‎-\frac{7x}{10} לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-0.7 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎0.2.

$$-0.7\times 0.2x-0.7\times 0.1y=-0.7\left(-180\right),0.2\left(-0.7\right)x+0.2\left(-0.2\right)y=0.2\times 480$$

פשט.

$$-0.14x-0.07y=126,-0.14x-0.04y=96$$

החסר את ‎-0.14x-0.04y=96 מ- ‎-0.14x-0.07y=126 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-0.14x+0.14x-0.07y+0.04y=126-96$$

הוסף את ‎-\frac{7x}{50} ל- ‎\frac{7x}{50}. האיברים ‎-\frac{7x}{50} ו- ‎\frac{7x}{50} מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-0.07y+0.04y=126-96$$

הוסף את ‎-\frac{7y}{100} ל- ‎\frac{y}{25}.

$$-0.03y=126-96$$

הוסף את ‎126 ל- ‎-96.

$$-0.03y=30$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-0.03, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-1000$$

השתמש ב- ‎-1000 במקום y ב- ‎-0.7x-0.2y=480. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-0.7x-0.2\left(-1000\right)=480$$

הכפל את ‎-0.2 ב- ‎-1000.

$$-0.7x+200=480$$

החסר ‎200 משני אגפי המשוואה.

$$-0.7x=280$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-0.7, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=-400$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-400,y=-1000$$