פתור את {l}{0=1/3-b+c}{0=3+3b+c}

$$\left. \begin{array} { l } { 0 = \frac { 1 } { 3 } - b + c } \\ { 0 = 3 + 3 b + c } \end{array} \right.$$

פתור עבור b, c

$$b=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$c=-1$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החלף בין הצדדים כך שכל איברי המשתנים יופיעו בצד השמאלי.

$$\frac{1}{3}-b+c=0$$

החסר ‎\frac{1}{3} משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$-b+c=-\frac{1}{3}$$

שקול את המשוואה השניה. החלף בין הצדדים כך שכל איברי המשתנים יופיעו בצד השמאלי.

$$3+3b+c=0$$

החסר ‎3 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$3b+c=-3$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-b+c=-\frac{1}{3},3b+c=-3$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור b על-ידי בידוד b בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-b+c=-\frac{1}{3}$$

החסר ‎c משני אגפי המשוואה.

$$-b=-c-\frac{1}{3}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$b=-\left(-c-\frac{1}{3}\right)$$

הכפל את ‎-1 ב- ‎-c-\frac{1}{3}.

$$b=c+\frac{1}{3}$$

השתמש ב- ‎c+\frac{1}{3} במקום ‎b במשוואה השניה, ‎3b+c=-3.

$$3\left(c+\frac{1}{3}\right)+c=-3$$

הכפל את ‎3 ב- ‎c+\frac{1}{3}.

$$3c+1+c=-3$$

הוסף את ‎3c ל- ‎c.

$$4c+1=-3$$

החסר ‎1 משני אגפי המשוואה.

$$4c=-4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$c=-1$$

השתמש ב- ‎-1 במקום c ב- ‎b=c+\frac{1}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את b ישירות.

$$b=-1+\frac{1}{3}$$

הוסף את ‎\frac{1}{3} ל- ‎-1.

$$b=-\frac{2}{3}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$b=-\frac{2}{3},c=-1$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החלף בין הצדדים כך שכל איברי המשתנים יופיעו בצד השמאלי.

$$\frac{1}{3}-b+c=0$$

החסר ‎\frac{1}{3} משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$-b+c=-\frac{1}{3}$$

שקול את המשוואה השניה. החלף בין הצדדים כך שכל איברי המשתנים יופיעו בצד השמאלי.

$$3+3b+c=0$$

החסר ‎3 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$3b+c=-3$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-b+c=-\frac{1}{3},3b+c=-3$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-1&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\\-3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-1&1\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\\-3\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\\-3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\\-3\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-1-3}&-\frac{1}{-1-3}\\-\frac{3}{-1-3}&-\frac{1}{-1-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\\-3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\\-3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{4}\left(-3\right)\\\frac{3}{4}\left(-\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{4}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\\-1\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה b ו- c.

$$b=-\frac{2}{3},c=-1$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החלף בין הצדדים כך שכל איברי המשתנים יופיעו בצד השמאלי.

$$\frac{1}{3}-b+c=0$$

החסר ‎\frac{1}{3} משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$-b+c=-\frac{1}{3}$$

שקול את המשוואה השניה. החלף בין הצדדים כך שכל איברי המשתנים יופיעו בצד השמאלי.

$$3+3b+c=0$$

החסר ‎3 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$3b+c=-3$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-b+c=-\frac{1}{3},3b+c=-3$$

החסר את ‎3b+c=-3 מ- ‎-b+c=-\frac{1}{3} על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-b-3b+c-c=-\frac{1}{3}+3$$

הוסף את ‎c ל- ‎-c. האיברים ‎c ו- ‎-c מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-b-3b=-\frac{1}{3}+3$$

הוסף את ‎-b ל- ‎-3b.

$$-4b=-\frac{1}{3}+3$$

הוסף את ‎-\frac{1}{3} ל- ‎3.

$$-4b=\frac{8}{3}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-4.

$$b=-\frac{2}{3}$$

השתמש ב- ‎-\frac{2}{3} במקום b ב- ‎3b+c=-3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את c ישירות.

$$3\left(-\frac{2}{3}\right)+c=-3$$

הכפל את ‎3 ב- ‎-\frac{2}{3}.

$$-2+c=-3$$

הוסף ‎2 לשני אגפי המשוואה.

$$c=-1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$b=-\frac{2}{3},c=-1$$