פתור את {l}{-x-6y=-16}{5x-y=18}

$$\left. \begin{array} { l } { - x - 6 y = - 16 } \\ { 5 x - y = 18 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=4$$

$$y=2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-x-6y=-16,5x-y=18$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-x-6y=-16$$

הוסף ‎6y לשני אגפי המשוואה.

$$-x=6y-16$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$x=-\left(6y-16\right)$$

הכפל את ‎-1 ב- ‎6y-16.

$$x=-6y+16$$

השתמש ב- ‎-6y+16 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎5x-y=18.

$$5\left(-6y+16\right)-y=18$$

הכפל את ‎5 ב- ‎-6y+16.

$$-30y+80-y=18$$

הוסף את ‎-30y ל- ‎-y.

$$-31y+80=18$$

החסר ‎80 משני אגפי המשוואה.

$$-31y=-62$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-31.

$$y=2$$

השתמש ב- ‎2 במקום y ב- ‎x=-6y+16. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-6\times 2+16$$

הכפל את ‎-6 ב- ‎2.

$$x=-12+16$$

הוסף את ‎16 ל- ‎-12.

$$x=4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=4,y=2$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-x-6y=-16,5x-y=18$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-1&-6\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-16\\18\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-1&-6\\5&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-6\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-6\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-6\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\18\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-6\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\18\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-6\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\18\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-\left(-1\right)-\left(-6\times 5\right)}&-\frac{-6}{-\left(-1\right)-\left(-6\times 5\right)}\\-\frac{5}{-\left(-1\right)-\left(-6\times 5\right)}&-\frac{1}{-\left(-1\right)-\left(-6\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\18\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{31}&\frac{6}{31}\\-\frac{5}{31}&-\frac{1}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\18\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{31}\left(-16\right)+\frac{6}{31}\times 18\\-\frac{5}{31}\left(-16\right)-\frac{1}{31}\times 18\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=4,y=2$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-x-6y=-16,5x-y=18$$

כדי להפוך את ‎-x ו- ‎5x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎5 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-1.

$$5\left(-1\right)x+5\left(-6\right)y=5\left(-16\right),-5x-\left(-y\right)=-18$$

פשט.

$$-5x-30y=-80,-5x+y=-18$$

החסר את ‎-5x+y=-18 מ- ‎-5x-30y=-80 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-5x+5x-30y-y=-80+18$$

הוסף את ‎-5x ל- ‎5x. האיברים ‎-5x ו- ‎5x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-30y-y=-80+18$$

הוסף את ‎-30y ל- ‎-y.

$$-31y=-80+18$$

הוסף את ‎-80 ל- ‎18.

$$-31y=-62$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-31.

$$y=2$$

השתמש ב- ‎2 במקום y ב- ‎5x-y=18. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$5x-2=18$$

הוסף ‎2 לשני אגפי המשוואה.

$$5x=20$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=4,y=2$$