פתור את {l}{-x-3y=6}{2x+3y=3}

$$\left. \begin{array} { l } { - x - 3 y = 6 } \\ { 2 x + 3 y = 3 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=9$$

$$y=-5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-x-3y=6,2x+3y=3$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-x-3y=6$$

הוסף ‎3y לשני אגפי המשוואה.

$$-x=3y+6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$x=-\left(3y+6\right)$$

הכפל את ‎-1 ב- ‎6+3y.

$$x=-3y-6$$

השתמש ב- ‎-3y-6 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x+3y=3.

$$2\left(-3y-6\right)+3y=3$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-3y-6.

$$-6y-12+3y=3$$

הוסף את ‎-6y ל- ‎3y.

$$-3y-12=3$$

הוסף ‎12 לשני אגפי המשוואה.

$$-3y=15$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-3.

$$y=-5$$

השתמש ב- ‎-5 במקום y ב- ‎x=-3y-6. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-3\left(-5\right)-6$$

הכפל את ‎-3 ב- ‎-5.

$$x=15-6$$

הוסף את ‎-6 ל- ‎15.

$$x=9$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=9,y=-5$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-x-3y=6,2x+3y=3$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-1&-3\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-1&-3\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-3\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-3-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{-3-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{-3-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{1}{-3-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6+3\\-\frac{2}{3}\times 6-\frac{1}{3}\times 3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-5\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=9,y=-5$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-x-3y=6,2x+3y=3$$

כדי להפוך את ‎-x ו- ‎2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-1.

$$2\left(-1\right)x+2\left(-3\right)y=2\times 6,-2x-3y=-3$$

פשט.

$$-2x-6y=12,-2x-3y=-3$$

החסר את ‎-2x-3y=-3 מ- ‎-2x-6y=12 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-2x+2x-6y+3y=12+3$$

הוסף את ‎-2x ל- ‎2x. האיברים ‎-2x ו- ‎2x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-6y+3y=12+3$$

הוסף את ‎-6y ל- ‎3y.

$$-3y=12+3$$

הוסף את ‎12 ל- ‎3.

$$-3y=15$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-3.

$$y=-5$$

השתמש ב- ‎-5 במקום y ב- ‎2x+3y=3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x+3\left(-5\right)=3$$

הכפל את ‎3 ב- ‎-5.

$$2x-15=3$$

הוסף ‎15 לשני אגפי המשוואה.

$$2x=18$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=9$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=9,y=-5$$