פתור את {l}{-x-2y=9}{3x-2y=21}

$$\left. \begin{array} { l } { - x - 2 y = 9 } \\ { 3 x - 2 y = 21 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=3$$

$$y=-6$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-x-2y=9,3x-2y=21$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-x-2y=9$$

הוסף ‎2y לשני אגפי המשוואה.

$$-x=2y+9$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$x=-\left(2y+9\right)$$

הכפל את ‎-1 ב- ‎2y+9.

$$x=-2y-9$$

השתמש ב- ‎-2y-9 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x-2y=21.

$$3\left(-2y-9\right)-2y=21$$

הכפל את ‎3 ב- ‎-2y-9.

$$-6y-27-2y=21$$

הוסף את ‎-6y ל- ‎-2y.

$$-8y-27=21$$

הוסף ‎27 לשני אגפי המשוואה.

$$-8y=48$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-8.

$$y=-6$$

השתמש ב- ‎-6 במקום y ב- ‎x=-2y-9. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-2\left(-6\right)-9$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎-6.

$$x=12-9$$

הוסף את ‎-9 ל- ‎12.

$$x=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=3,y=-6$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-x-2y=9,3x-2y=21$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-\left(-2\right)-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{-\left(-2\right)-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{-\left(-2\right)-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{1}{-\left(-2\right)-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 9+\frac{1}{4}\times 21\\-\frac{3}{8}\times 9-\frac{1}{8}\times 21\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-6\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=3,y=-6$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-x-2y=9,3x-2y=21$$

החסר את ‎3x-2y=21 מ- ‎-x-2y=9 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-x-3x-2y+2y=9-21$$

הוסף את ‎-2y ל- ‎2y. האיברים ‎-2y ו- ‎2y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-x-3x=9-21$$

הוסף את ‎-x ל- ‎-3x.

$$-4x=9-21$$

הוסף את ‎9 ל- ‎-21.

$$-4x=-12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-4.

$$x=3$$

השתמש ב- ‎3 במקום x ב- ‎3x-2y=21. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$3\times 3-2y=21$$

הכפל את ‎3 ב- ‎3.

$$9-2y=21$$

החסר ‎9 משני אגפי המשוואה.

$$-2y=12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-2.

$$y=-6$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=3,y=-6$$