פתור את {l}{-x-2y=4}{3x-y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { - x - 2 y = 4 } \\ { 3 x - y = 2 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=0$$

$$y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-x-2y=4,3x-y=2$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-x-2y=4$$

הוסף ‎2y לשני אגפי המשוואה.

$$-x=2y+4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$x=-\left(2y+4\right)$$

הכפל את ‎-1 ב- ‎4+2y.

$$x=-2y-4$$

השתמש ב- ‎-2y-4 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x-y=2.

$$3\left(-2y-4\right)-y=2$$

הכפל את ‎3 ב- ‎-2y-4.

$$-6y-12-y=2$$

הוסף את ‎-6y ל- ‎-y.

$$-7y-12=2$$

הוסף ‎12 לשני אגפי המשוואה.

$$-7y=14$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-7.

$$y=-2$$

השתמש ב- ‎-2 במקום y ב- ‎x=-2y-4. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-2\left(-2\right)-4$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎-2.

$$x=4-4$$

הוסף את ‎-4 ל- ‎4.

$$x=0$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=0,y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-x-2y=4,3x-y=2$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-\left(-1\right)-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{-\left(-1\right)-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{-\left(-1\right)-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{1}{-\left(-1\right)-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\\-\frac{3}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 4+\frac{2}{7}\times 2\\-\frac{3}{7}\times 4-\frac{1}{7}\times 2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=0,y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-x-2y=4,3x-y=2$$

כדי להפוך את ‎-x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-1.

$$3\left(-1\right)x+3\left(-2\right)y=3\times 4,-3x-\left(-y\right)=-2$$

פשט.

$$-3x-6y=12,-3x+y=-2$$

החסר את ‎-3x+y=-2 מ- ‎-3x-6y=12 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-3x+3x-6y-y=12+2$$

הוסף את ‎-3x ל- ‎3x. האיברים ‎-3x ו- ‎3x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-6y-y=12+2$$

הוסף את ‎-6y ל- ‎-y.

$$-7y=12+2$$

הוסף את ‎12 ל- ‎2.

$$-7y=14$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-7.

$$y=-2$$

השתמש ב- ‎-2 במקום y ב- ‎3x-y=2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x-\left(-2\right)=2$$

החסר ‎2 משני אגפי המשוואה.

$$3x=0$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=0$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=0,y=-2$$