פתור את {l}{-x-2y=-7}{2x+2y=16}

$$\left. \begin{array} { l } { - x - 2 y = - 7 } \\ { 2 x + 2 y = 16 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=9$$

$$y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-x-2y=-7,2x+2y=16$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-x-2y=-7$$

הוסף ‎2y לשני אגפי המשוואה.

$$-x=2y-7$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$x=-\left(2y-7\right)$$

הכפל את ‎-1 ב- ‎2y-7.

$$x=-2y+7$$

השתמש ב- ‎-2y+7 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x+2y=16.

$$2\left(-2y+7\right)+2y=16$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-2y+7.

$$-4y+14+2y=16$$

הוסף את ‎-4y ל- ‎2y.

$$-2y+14=16$$

החסר ‎14 משני אגפי המשוואה.

$$-2y=2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-2.

$$y=-1$$

השתמש ב- ‎-1 במקום y ב- ‎x=-2y+7. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-2\left(-1\right)+7$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎-1.

$$x=2+7$$

הוסף את ‎7 ל- ‎2.

$$x=9$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=9,y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-x-2y=-7,2x+2y=16$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-1&-2\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\16\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-1&-2\\2&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-2\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\16\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\16\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\16\end{matrix}\right)$$

עבור מטריצת 2\times 2 ‎\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)‎, המטריצה ההפוכה היא ‎\left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)‎, כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-2-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{-2-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{-2-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{1}{-2-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\16\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\-1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\16\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7+16\\-\left(-7\right)-\frac{1}{2}\times 16\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-1\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=9,y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-x-2y=-7,2x+2y=16$$

כדי להפוך את ‎-x ו- ‎2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-1.

$$2\left(-1\right)x+2\left(-2\right)y=2\left(-7\right),-2x-2y=-16$$

פשט.

$$-2x-4y=-14,-2x-2y=-16$$

החסר את ‎-2x-2y=-16 מ- ‎-2x-4y=-14 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-2x+2x-4y+2y=-14+16$$

הוסף את ‎-2x ל- ‎2x. האיברים ‎-2x ו- ‎2x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-4y+2y=-14+16$$

הוסף את ‎-4y ל- ‎2y.

$$-2y=-14+16$$

הוסף את ‎-14 ל- ‎16.

$$-2y=2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-2.

$$y=-1$$

השתמש ב- ‎-1 במקום y ב- ‎2x+2y=16. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x+2\left(-1\right)=16$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-1.

$$2x-2=16$$

הוסף ‎2 לשני אגפי המשוואה.

$$2x=18$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=9$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=9,y=-1$$