פתור את {l}{-x+y=2}{2y=9x+9}

$$\left. \begin{array} { l } { - x + y = 2 } \\ { 2 y = 9 x + 9 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-\frac{5}{7}\approx -0.714285714$$

$$y = \frac{9}{7} = 1\frac{2}{7} \approx 1.285714286$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎9x משני האגפים.

$$2y-9x=9$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-x+y=2,-9x+2y=9$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-x+y=2$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$-x=-y+2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$x=-\left(-y+2\right)$$

הכפל את ‎-1 ב- ‎-y+2.

$$x=y-2$$

השתמש ב- ‎y-2 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-9x+2y=9.

$$-9\left(y-2\right)+2y=9$$

הכפל את ‎-9 ב- ‎y-2.

$$-9y+18+2y=9$$

הוסף את ‎-9y ל- ‎2y.

$$-7y+18=9$$

החסר ‎18 משני אגפי המשוואה.

$$-7y=-9$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-7.

$$y=\frac{9}{7}$$

השתמש ב- ‎\frac{9}{7} במקום y ב- ‎x=y-2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{9}{7}-2$$

הוסף את ‎-2 ל- ‎\frac{9}{7}.

$$x=-\frac{5}{7}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{5}{7},y=\frac{9}{7}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎9x משני האגפים.

$$2y-9x=9$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-x+y=2,-9x+2y=9$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-2-\left(-9\right)}&-\frac{1}{-2-\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{-2-\left(-9\right)}&-\frac{1}{-2-\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\\\frac{9}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 2-\frac{1}{7}\times 9\\\frac{9}{7}\times 2-\frac{1}{7}\times 9\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{7}\\\frac{9}{7}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-\frac{5}{7},y=\frac{9}{7}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎9x משני האגפים.

$$2y-9x=9$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-x+y=2,-9x+2y=9$$

כדי להפוך את ‎-x ו- ‎-9x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-9 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-1.

$$-9\left(-1\right)x-9y=-9\times 2,-\left(-9\right)x-2y=-9$$

פשט.

$$9x-9y=-18,9x-2y=-9$$

החסר את ‎9x-2y=-9 מ- ‎9x-9y=-18 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$9x-9x-9y+2y=-18+9$$

הוסף את ‎9x ל- ‎-9x. האיברים ‎9x ו- ‎-9x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-9y+2y=-18+9$$

הוסף את ‎-9y ל- ‎2y.

$$-7y=-18+9$$

הוסף את ‎-18 ל- ‎9.

$$-7y=-9$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-7.

$$y=\frac{9}{7}$$

השתמש ב- ‎\frac{9}{7} במקום y ב- ‎-9x+2y=9. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-9x+2\times \frac{9}{7}=9$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{9}{7}.

$$-9x+\frac{18}{7}=9$$

החסר ‎\frac{18}{7} משני אגפי המשוואה.

$$-9x=\frac{45}{7}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-9.

$$x=-\frac{5}{7}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{5}{7},y=\frac{9}{7}$$