פתור את {l}{-x+6y=20}{-x+3y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { - x + 6 y = 20 } \\ { - x + 3 y = 8 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=4$$

$$y=4$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-x+6y=20,-x+3y=8$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-x+6y=20$$

החסר ‎6y משני אגפי המשוואה.

$$-x=-6y+20$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$x=-\left(-6y+20\right)$$

הכפל את ‎-1 ב- ‎-6y+20.

$$x=6y-20$$

השתמש ב- ‎6y-20 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-x+3y=8.

$$-\left(6y-20\right)+3y=8$$

הכפל את ‎-1 ב- ‎6y-20.

$$-6y+20+3y=8$$

הוסף את ‎-6y ל- ‎3y.

$$-3y+20=8$$

החסר ‎20 משני אגפי המשוואה.

$$-3y=-12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-3.

$$y=4$$

השתמש ב- ‎4 במקום y ב- ‎x=6y-20. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=6\times 4-20$$

הכפל את ‎6 ב- ‎4.

$$x=24-20$$

הוסף את ‎-20 ל- ‎24.

$$x=4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=4,y=4$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-x+6y=20,-x+3y=8$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-1&6\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-1&6\\-1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&6\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&6\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&6\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&6\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&6\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-3-6\left(-1\right)}&-\frac{6}{-3-6\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{-3-6\left(-1\right)}&-\frac{1}{-3-6\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-2\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20-2\times 8\\\frac{1}{3}\times 20-\frac{1}{3}\times 8\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=4,y=4$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-x+6y=20,-x+3y=8$$

החסר את ‎-x+3y=8 מ- ‎-x+6y=20 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-x+x+6y-3y=20-8$$

הוסף את ‎-x ל- ‎x. האיברים ‎-x ו- ‎x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$6y-3y=20-8$$

הוסף את ‎6y ל- ‎-3y.

$$3y=20-8$$

הוסף את ‎20 ל- ‎-8.

$$3y=12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$y=4$$

השתמש ב- ‎4 במקום y ב- ‎-x+3y=8. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-x+3\times 4=8$$

הכפל את ‎3 ב- ‎4.

$$-x+12=8$$

החסר ‎12 משני אגפי המשוואה.

$$-x=-4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$x=4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=4,y=4$$