פתור את {l}{-x+5y=-1}{+x+2y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { - x + 5 y = - 1 } \\ { + x + 2 y = 5 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{27}{7} = 3\frac{6}{7} \approx 3.857142857$$

$$y=\frac{4}{7}\approx 0.571428571$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-x+5y=-1,x+2y=5$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-x+5y=-1$$

החסר ‎5y משני אגפי המשוואה.

$$-x=-5y-1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$x=-\left(-5y-1\right)$$

הכפל את ‎-1 ב- ‎-5y-1.

$$x=5y+1$$

השתמש ב- ‎5y+1 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x+2y=5.

$$5y+1+2y=5$$

הוסף את ‎5y ל- ‎2y.

$$7y+1=5$$

החסר ‎1 משני אגפי המשוואה.

$$7y=4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$y=\frac{4}{7}$$

השתמש ב- ‎\frac{4}{7} במקום y ב- ‎x=5y+1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=5\times \frac{4}{7}+1$$

הכפל את ‎5 ב- ‎\frac{4}{7}.

$$x=\frac{20}{7}+1$$

הוסף את ‎1 ל- ‎\frac{20}{7}.

$$x=\frac{27}{7}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{27}{7},y=\frac{4}{7}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-x+5y=-1,x+2y=5$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-1&5\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-1&5\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&5\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-2-5}&-\frac{5}{-2-5}\\-\frac{1}{-2-5}&-\frac{1}{-2-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}&\frac{5}{7}\\\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}\left(-1\right)+\frac{5}{7}\times 5\\\frac{1}{7}\left(-1\right)+\frac{1}{7}\times 5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{27}{7}\\\frac{4}{7}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{27}{7},y=\frac{4}{7}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-x+5y=-1,x+2y=5$$

כדי להפוך את ‎-x ו- ‎x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-1.

$$-x+5y=-1,-x-2y=-5$$

החסר את ‎-x-2y=-5 מ- ‎-x+5y=-1 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-x+x+5y+2y=-1+5$$

הוסף את ‎-x ל- ‎x. האיברים ‎-x ו- ‎x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$5y+2y=-1+5$$

הוסף את ‎5y ל- ‎2y.

$$7y=-1+5$$

הוסף את ‎-1 ל- ‎5.

$$7y=4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$y=\frac{4}{7}$$

השתמש ב- ‎\frac{4}{7} במקום y ב- ‎x+2y=5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x+2\times \frac{4}{7}=5$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{4}{7}.

$$x+\frac{8}{7}=5$$

החסר ‎\frac{8}{7} משני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{27}{7}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{27}{7},y=\frac{4}{7}$$