פתור את {l}{-x+2y=17}{2x+2y=-10}

$$\left. \begin{array} { l } { - x + 2 y = 17 } \\ { 2 x + 2 y = - 10 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-9$$

$$y=4$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-x+2y=17,2x+2y=-10$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-x+2y=17$$

החסר ‎2y משני אגפי המשוואה.

$$-x=-2y+17$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$x=-\left(-2y+17\right)$$

הכפל את ‎-1 ב- ‎-2y+17.

$$x=2y-17$$

השתמש ב- ‎2y-17 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x+2y=-10.

$$2\left(2y-17\right)+2y=-10$$

הכפל את ‎2 ב- ‎2y-17.

$$4y-34+2y=-10$$

הוסף את ‎4y ל- ‎2y.

$$6y-34=-10$$

הוסף ‎34 לשני אגפי המשוואה.

$$6y=24$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$y=4$$

השתמש ב- ‎4 במקום y ב- ‎x=2y-17. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=2\times 4-17$$

הכפל את ‎2 ב- ‎4.

$$x=8-17$$

הוסף את ‎-17 ל- ‎8.

$$x=-9$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-9,y=4$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-x+2y=17,2x+2y=-10$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-1&2\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\-10\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-1&2\\2&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&2\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-10\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-10\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-10\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-2-2\times 2}&-\frac{2}{-2-2\times 2}\\-\frac{2}{-2-2\times 2}&-\frac{1}{-2-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-10\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-10\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 17+\frac{1}{3}\left(-10\right)\\\frac{1}{3}\times 17+\frac{1}{6}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\4\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-9,y=4$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-x+2y=17,2x+2y=-10$$

החסר את ‎2x+2y=-10 מ- ‎-x+2y=17 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-x-2x+2y-2y=17+10$$

הוסף את ‎2y ל- ‎-2y. האיברים ‎2y ו- ‎-2y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-x-2x=17+10$$

הוסף את ‎-x ל- ‎-2x.

$$-3x=17+10$$

הוסף את ‎17 ל- ‎10.

$$-3x=27$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-3.

$$x=-9$$

השתמש ב- ‎-9 במקום x ב- ‎2x+2y=-10. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$2\left(-9\right)+2y=-10$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-9.

$$-18+2y=-10$$

הוסף ‎18 לשני אגפי המשוואה.

$$2y=8$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$y=4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-9,y=4$$