פתור את {l}{-9x-y=-3}{-8x+2y=-20}

$$\left. \begin{array} { l } { - 9 x - y = - 3 } \\ { - 8 x + 2 y = - 20 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=1$$

$$y=-6$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-9x-y=-3,-8x+2y=-20$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-9x-y=-3$$

הוסף ‎y לשני אגפי המשוואה.

$$-9x=y-3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-9.

$$x=-\frac{1}{9}\left(y-3\right)$$

הכפל את ‎-\frac{1}{9} ב- ‎y-3.

$$x=-\frac{1}{9}y+\frac{1}{3}$$

השתמש ב- ‎-\frac{y}{9}+\frac{1}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-8x+2y=-20.

$$-8\left(-\frac{1}{9}y+\frac{1}{3}\right)+2y=-20$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎-\frac{y}{9}+\frac{1}{3}.

$$\frac{8}{9}y-\frac{8}{3}+2y=-20$$

הוסף את ‎\frac{8y}{9} ל- ‎2y.

$$\frac{26}{9}y-\frac{8}{3}=-20$$

הוסף ‎\frac{8}{3} לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{26}{9}y=-\frac{52}{3}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{26}{9}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-6$$

השתמש ב- ‎-6 במקום y ב- ‎x=-\frac{1}{9}y+\frac{1}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{1}{9}\left(-6\right)+\frac{1}{3}$$

הכפל את ‎-\frac{1}{9} ב- ‎-6.

$$x=\frac{2+1}{3}$$

הוסף את ‎\frac{1}{3} ל- ‎\frac{2}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=-6$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-9x-y=-3,-8x+2y=-20$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-9&-1\\-8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-20\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-9&-1\\-8&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-9&-1\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9&-1\\-8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-1\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-20\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-1\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-20\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-1\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-20\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-9\times 2-\left(-\left(-8\right)\right)}&-\frac{-1}{-9\times 2-\left(-\left(-8\right)\right)}\\-\frac{-8}{-9\times 2-\left(-\left(-8\right)\right)}&-\frac{9}{-9\times 2-\left(-\left(-8\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-20\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&-\frac{1}{26}\\-\frac{4}{13}&\frac{9}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-20\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\left(-3\right)-\frac{1}{26}\left(-20\right)\\-\frac{4}{13}\left(-3\right)+\frac{9}{26}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-6\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=1,y=-6$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-9x-y=-3,-8x+2y=-20$$

כדי להפוך את ‎-9x ו- ‎-8x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-8 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-9.

$$-8\left(-9\right)x-8\left(-1\right)y=-8\left(-3\right),-9\left(-8\right)x-9\times 2y=-9\left(-20\right)$$

פשט.

$$72x+8y=24,72x-18y=180$$

החסר את ‎72x-18y=180 מ- ‎72x+8y=24 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$72x-72x+8y+18y=24-180$$

הוסף את ‎72x ל- ‎-72x. האיברים ‎72x ו- ‎-72x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$8y+18y=24-180$$

הוסף את ‎8y ל- ‎18y.

$$26y=24-180$$

הוסף את ‎24 ל- ‎-180.

$$26y=-156$$

חלק את שני האגפים ב- ‎26.

$$y=-6$$

השתמש ב- ‎-6 במקום y ב- ‎-8x+2y=-20. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-8x+2\left(-6\right)=-20$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-6.

$$-8x-12=-20$$

הוסף ‎12 לשני אגפי המשוואה.

$$-8x=-8$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-8.

$$x=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=-6$$