פתור את {l}{-9x-y=-14}{-x-5y=18}

$$\left. \begin{array} { l } { - 9 x - y = - 14 } \\ { - x - 5 y = 18 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=2$$

$$y=-4$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-9x-y=-14,-x-5y=18$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-9x-y=-14$$

הוסף ‎y לשני אגפי המשוואה.

$$-9x=y-14$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-9.

$$x=-\frac{1}{9}\left(y-14\right)$$

הכפל את ‎-\frac{1}{9} ב- ‎y-14.

$$x=-\frac{1}{9}y+\frac{14}{9}$$

השתמש ב- ‎\frac{-y+14}{9} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-x-5y=18.

$$-\left(-\frac{1}{9}y+\frac{14}{9}\right)-5y=18$$

הכפל את ‎-1 ב- ‎\frac{-y+14}{9}.

$$\frac{1}{9}y-\frac{14}{9}-5y=18$$

הוסף את ‎\frac{y}{9} ל- ‎-5y.

$$-\frac{44}{9}y-\frac{14}{9}=18$$

הוסף ‎\frac{14}{9} לשני אגפי המשוואה.

$$-\frac{44}{9}y=\frac{176}{9}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{44}{9}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-4$$

השתמש ב- ‎-4 במקום y ב- ‎x=-\frac{1}{9}y+\frac{14}{9}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{1}{9}\left(-4\right)+\frac{14}{9}$$

הכפל את ‎-\frac{1}{9} ב- ‎-4.

$$x=\frac{4+14}{9}$$

הוסף את ‎\frac{14}{9} ל- ‎\frac{4}{9} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=2,y=-4$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-9x-y=-14,-x-5y=18$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-9&-1\\-1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\18\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-9&-1\\-1&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-9&-1\\-1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9&-1\\-1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-1\\-1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\18\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-1\\-1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\18\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-1\\-1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\18\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-9\left(-5\right)-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{-9\left(-5\right)-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{-9\left(-5\right)-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{9}{-9\left(-5\right)-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\18\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{44}&\frac{1}{44}\\\frac{1}{44}&-\frac{9}{44}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\18\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{44}\left(-14\right)+\frac{1}{44}\times 18\\\frac{1}{44}\left(-14\right)-\frac{9}{44}\times 18\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=2,y=-4$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-9x-y=-14,-x-5y=18$$

כדי להפוך את ‎-9x ו- ‎-x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-9.

$$-\left(-9\right)x-\left(-y\right)=-\left(-14\right),-9\left(-1\right)x-9\left(-5\right)y=-9\times 18$$

פשט.

$$9x+y=14,9x+45y=-162$$

החסר את ‎9x+45y=-162 מ- ‎9x+y=14 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$9x-9x+y-45y=14+162$$

הוסף את ‎9x ל- ‎-9x. האיברים ‎9x ו- ‎-9x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$y-45y=14+162$$

הוסף את ‎y ל- ‎-45y.

$$-44y=14+162$$

הוסף את ‎14 ל- ‎162.

$$-44y=176$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-44.

$$y=-4$$

השתמש ב- ‎-4 במקום y ב- ‎-x-5y=18. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-x-5\left(-4\right)=18$$

הכפל את ‎-5 ב- ‎-4.

$$-x+20=18$$

החסר ‎20 משני אגפי המשוואה.

$$-x=-2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$x=2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=2,y=-4$$