פתור את {l}{-9x-7y=17}{10x+7y=-15}

$$\left. \begin{array} { l } { - 9 x - 7 y = 17 } \\ { 10 x + 7 y = - 15 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=2$$

$$y=-5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-9x-7y=17,10x+7y=-15$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-9x-7y=17$$

הוסף ‎7y לשני אגפי המשוואה.

$$-9x=7y+17$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-9.

$$x=-\frac{1}{9}\left(7y+17\right)$$

הכפל את ‎-\frac{1}{9} ב- ‎7y+17.

$$x=-\frac{7}{9}y-\frac{17}{9}$$

השתמש ב- ‎\frac{-7y-17}{9} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎10x+7y=-15.

$$10\left(-\frac{7}{9}y-\frac{17}{9}\right)+7y=-15$$

הכפל את ‎10 ב- ‎\frac{-7y-17}{9}.

$$-\frac{70}{9}y-\frac{170}{9}+7y=-15$$

הוסף את ‎-\frac{70y}{9} ל- ‎7y.

$$-\frac{7}{9}y-\frac{170}{9}=-15$$

הוסף ‎\frac{170}{9} לשני אגפי המשוואה.

$$-\frac{7}{9}y=\frac{35}{9}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{7}{9}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-5$$

השתמש ב- ‎-5 במקום y ב- ‎x=-\frac{7}{9}y-\frac{17}{9}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{7}{9}\left(-5\right)-\frac{17}{9}$$

הכפל את ‎-\frac{7}{9} ב- ‎-5.

$$x=\frac{35-17}{9}$$

הוסף את ‎-\frac{17}{9} ל- ‎\frac{35}{9} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=2,y=-5$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-9x-7y=17,10x+7y=-15$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-9&-7\\10&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\-15\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-9&-7\\10&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-9&-7\\10&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9&-7\\10&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-7\\10&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-15\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-7\\10&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-15\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-7\\10&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-15\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{-9\times 7-\left(-7\times 10\right)}&-\frac{-7}{-9\times 7-\left(-7\times 10\right)}\\-\frac{10}{-9\times 7-\left(-7\times 10\right)}&-\frac{9}{-9\times 7-\left(-7\times 10\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-15\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{10}{7}&-\frac{9}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-15\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17-15\\-\frac{10}{7}\times 17-\frac{9}{7}\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=2,y=-5$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-9x-7y=17,10x+7y=-15$$

כדי להפוך את ‎-9x ו- ‎10x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎10 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-9.

$$10\left(-9\right)x+10\left(-7\right)y=10\times 17,-9\times 10x-9\times 7y=-9\left(-15\right)$$

פשט.

$$-90x-70y=170,-90x-63y=135$$

החסר את ‎-90x-63y=135 מ- ‎-90x-70y=170 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-90x+90x-70y+63y=170-135$$

הוסף את ‎-90x ל- ‎90x. האיברים ‎-90x ו- ‎90x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-70y+63y=170-135$$

הוסף את ‎-70y ל- ‎63y.

$$-7y=170-135$$

הוסף את ‎170 ל- ‎-135.

$$-7y=35$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-7.

$$y=-5$$

השתמש ב- ‎-5 במקום y ב- ‎10x+7y=-15. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$10x+7\left(-5\right)=-15$$

הכפל את ‎7 ב- ‎-5.

$$10x-35=-15$$

הוסף ‎35 לשני אגפי המשוואה.

$$10x=20$$

חלק את שני האגפים ב- ‎10.

$$x=2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=2,y=-5$$