פתור את {l}{-9x-6y=6}{3x-6y=-18}

$$\left. \begin{array} { l } { - 9 x - 6 y = 6 } \\ { 3 x - 6 y = - 18 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-2$$

$$y=2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-9x-6y=6,3x-6y=-18$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-9x-6y=6$$

הוסף ‎6y לשני אגפי המשוואה.

$$-9x=6y+6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-9.

$$x=-\frac{1}{9}\left(6y+6\right)$$

הכפל את ‎-\frac{1}{9} ב- ‎6+6y.

$$x=-\frac{2}{3}y-\frac{2}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{-2y-2}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x-6y=-18.

$$3\left(-\frac{2}{3}y-\frac{2}{3}\right)-6y=-18$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{-2y-2}{3}.

$$-2y-2-6y=-18$$

הוסף את ‎-2y ל- ‎-6y.

$$-8y-2=-18$$

הוסף ‎2 לשני אגפי המשוואה.

$$-8y=-16$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-8.

$$y=2$$

השתמש ב- ‎2 במקום y ב- ‎x=-\frac{2}{3}y-\frac{2}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{2}{3}\times 2-\frac{2}{3}$$

הכפל את ‎-\frac{2}{3} ב- ‎2.

$$x=\frac{-4-2}{3}$$

הוסף את ‎-\frac{2}{3} ל- ‎-\frac{4}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-2,y=2$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-9x-6y=6,3x-6y=-18$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-9&-6\\3&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-18\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-9&-6\\3&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-9&-6\\3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9&-6\\3&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-6\\3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-18\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-6\\3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-18\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-6\\3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-18\end{matrix}\right)$$

עבור מטריצת 2\times 2 ‎\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)‎, המטריצה ההפוכה היא ‎\left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)‎, כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{-9\left(-6\right)-\left(-6\times 3\right)}&-\frac{-6}{-9\left(-6\right)-\left(-6\times 3\right)}\\-\frac{3}{-9\left(-6\right)-\left(-6\times 3\right)}&-\frac{9}{-9\left(-6\right)-\left(-6\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-18\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\\-\frac{1}{24}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-18\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}\times 6+\frac{1}{12}\left(-18\right)\\-\frac{1}{24}\times 6-\frac{1}{8}\left(-18\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-2,y=2$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-9x-6y=6,3x-6y=-18$$

החסר את ‎3x-6y=-18 מ- ‎-9x-6y=6 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-9x-3x-6y+6y=6+18$$

הוסף את ‎-6y ל- ‎6y. האיברים ‎-6y ו- ‎6y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-9x-3x=6+18$$

הוסף את ‎-9x ל- ‎-3x.

$$-12x=6+18$$

הוסף את ‎6 ל- ‎18.

$$-12x=24$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-12.

$$x=-2$$

השתמש ב- ‎-2 במקום x ב- ‎3x-6y=-18. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$3\left(-2\right)-6y=-18$$

הכפל את ‎3 ב- ‎-2.

$$-6-6y=-18$$

הוסף ‎6 לשני אגפי המשוואה.

$$-6y=-12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-6.

$$y=2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-2,y=2$$