פתור את {l}{-9x+6y=13}{cx+8y=-12}

$$\left. \begin{array} { l } { - 9 x + 6 y = 13 } \\ { c x + 8 y = - 12 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)}$$

$$y=-\frac{108-13c}{6\left(c+12\right)}$$

$$c\neq -12$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-9x+6y=13,cx+8y=-12$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-9x+6y=13$$

החסר ‎6y משני אגפי המשוואה.

$$-9x=-6y+13$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-9.

$$x=-\frac{1}{9}\left(-6y+13\right)$$

הכפל את ‎-\frac{1}{9} ב- ‎-6y+13.

$$x=\frac{2}{3}y-\frac{13}{9}$$

השתמש ב- ‎\frac{2y}{3}-\frac{13}{9} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎cx+8y=-12.

$$c\left(\frac{2}{3}y-\frac{13}{9}\right)+8y=-12$$

הכפל את ‎c ב- ‎\frac{2y}{3}-\frac{13}{9}.

$$\frac{2c}{3}y-\frac{13c}{9}+8y=-12$$

הוסף את ‎\frac{2cy}{3} ל- ‎8y.

$$\left(\frac{2c}{3}+8\right)y-\frac{13c}{9}=-12$$

הוסף ‎\frac{13c}{9} לשני אגפי המשוואה.

$$\left(\frac{2c}{3}+8\right)y=\frac{13c}{9}-12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎\frac{2c}{3}+8.

$$y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$

השתמש ב- ‎\frac{-108+13c}{6\left(c+12\right)} במקום y ב- ‎x=\frac{2}{3}y-\frac{13}{9}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{2}{3}\times \frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}-\frac{13}{9}$$

הכפל את ‎\frac{2}{3} ב- ‎\frac{-108+13c}{6\left(c+12\right)}.

$$x=\frac{13c-108}{9\left(c+12\right)}-\frac{13}{9}$$

הוסף את ‎-\frac{13}{9} ל- ‎\frac{-108+13c}{9\left(c+12\right)}.

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)},y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-9x+6y=13,cx+8y=-12$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{-9\times 8-6c}&-\frac{6}{-9\times 8-6c}\\-\frac{c}{-9\times 8-6c}&-\frac{9}{-9\times 8-6c}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3\left(c+12\right)}&\frac{1}{c+12}\\\frac{c}{6\left(c+12\right)}&\frac{3}{2\left(c+12\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{4}{3\left(c+12\right)}\right)\times 13+\frac{1}{c+12}\left(-12\right)\\\frac{c}{6\left(c+12\right)}\times 13+\frac{3}{2\left(c+12\right)}\left(-12\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{88}{3\left(c+12\right)}\\\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)},y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-9x+6y=13,cx+8y=-12$$

כדי להפוך את ‎-9x ו- ‎cx לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎c ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-9.

$$c\left(-9\right)x+c\times 6y=c\times 13,-9cx-9\times 8y=-9\left(-12\right)$$

פשט.

$$\left(-9c\right)x+6cy=13c,\left(-9c\right)x-72y=108$$

החסר את ‎\left(-9c\right)x-72y=108 מ- ‎\left(-9c\right)x+6cy=13c על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$\left(-9c\right)x+9cx+6cy+72y=13c-108$$

הוסף את ‎-9cx ל- ‎9cx. האיברים ‎-9cx ו- ‎9cx מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$6cy+72y=13c-108$$

הוסף את ‎6cy ל- ‎72y.

$$\left(6c+72\right)y=13c-108$$

חלק את שני האגפים ב- ‎72+6c.

$$y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$

השתמש ב- ‎\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)} במקום y ב- ‎cx+8y=-12. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$cx+8\times \frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}=-12$$

הכפל את ‎8 ב- ‎\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}.

$$cx+\frac{4\left(13c-108\right)}{3\left(c+12\right)}=-12$$

החסר ‎\frac{4\left(13c-108\right)}{3\left(c+12\right)} משני אגפי המשוואה.

$$cx=-\frac{88c}{3\left(c+12\right)}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎c.

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)},y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$