פתור את {l}{-8x-9y=-10}{-4x-3y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { - 8 x - 9 y = - 10 } \\ { - 4 x - 3 y = 10 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-10$$

$$y=10$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-8x-9y=-10,-4x-3y=10$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-8x-9y=-10$$

הוסף ‎9y לשני אגפי המשוואה.

$$-8x=9y-10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-8.

$$x=-\frac{1}{8}\left(9y-10\right)$$

הכפל את ‎-\frac{1}{8} ב- ‎9y-10.

$$x=-\frac{9}{8}y+\frac{5}{4}$$

השתמש ב- ‎-\frac{9y}{8}+\frac{5}{4} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-4x-3y=10.

$$-4\left(-\frac{9}{8}y+\frac{5}{4}\right)-3y=10$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-\frac{9y}{8}+\frac{5}{4}.

$$\frac{9}{2}y-5-3y=10$$

הוסף את ‎\frac{9y}{2} ל- ‎-3y.

$$\frac{3}{2}y-5=10$$

הוסף ‎5 לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{3}{2}y=15$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{3}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=10$$

השתמש ב- ‎10 במקום y ב- ‎x=-\frac{9}{8}y+\frac{5}{4}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{9}{8}\times 10+\frac{5}{4}$$

הכפל את ‎-\frac{9}{8} ב- ‎10.

$$x=\frac{-45+5}{4}$$

הוסף את ‎\frac{5}{4} ל- ‎-\frac{45}{4} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-10$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-10,y=10$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-8x-9y=-10,-4x-3y=10$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-8&-9\\-4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\10\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-8&-9\\-4&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&-9\\-4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&-9\\-4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-9\\-4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\10\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-9\\-4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\10\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-9\\-4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\10\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-8\left(-3\right)-\left(-9\left(-4\right)\right)}&-\frac{-9}{-8\left(-3\right)-\left(-9\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{-8\left(-3\right)-\left(-9\left(-4\right)\right)}&-\frac{8}{-8\left(-3\right)-\left(-9\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\10\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{3}{4}\\-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\10\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\left(-10\right)-\frac{3}{4}\times 10\\-\frac{1}{3}\left(-10\right)+\frac{2}{3}\times 10\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\10\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-10,y=10$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-8x-9y=-10,-4x-3y=10$$

כדי להפוך את ‎-8x ו- ‎-4x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-4 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-8.

$$-4\left(-8\right)x-4\left(-9\right)y=-4\left(-10\right),-8\left(-4\right)x-8\left(-3\right)y=-8\times 10$$

פשט.

$$32x+36y=40,32x+24y=-80$$

החסר את ‎32x+24y=-80 מ- ‎32x+36y=40 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$32x-32x+36y-24y=40+80$$

הוסף את ‎32x ל- ‎-32x. האיברים ‎32x ו- ‎-32x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$36y-24y=40+80$$

הוסף את ‎36y ל- ‎-24y.

$$12y=40+80$$

הוסף את ‎40 ל- ‎80.

$$12y=120$$

חלק את שני האגפים ב- ‎12.

$$y=10$$

השתמש ב- ‎10 במקום y ב- ‎-4x-3y=10. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-4x-3\times 10=10$$

הכפל את ‎-3 ב- ‎10.

$$-4x-30=10$$

הוסף ‎30 לשני אגפי המשוואה.

$$-4x=40$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-4.

$$x=-10$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-10,y=10$$