פתור את {l}{-8x-6y=30}{-6x+2y=-10}

$$\left. \begin{array} { l } { - 8 x - 6 y = 30 } \\ { - 6 x + 2 y = - 10 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=0$$

$$y=-5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-8x-6y=30,-6x+2y=-10$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-8x-6y=30$$

הוסף ‎6y לשני אגפי המשוואה.

$$-8x=6y+30$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-8.

$$x=-\frac{1}{8}\left(6y+30\right)$$

הכפל את ‎-\frac{1}{8} ב- ‎30+6y.

$$x=-\frac{3}{4}y-\frac{15}{4}$$

השתמש ב- ‎\frac{-3y-15}{4} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-6x+2y=-10.

$$-6\left(-\frac{3}{4}y-\frac{15}{4}\right)+2y=-10$$

הכפל את ‎-6 ב- ‎\frac{-3y-15}{4}.

$$\frac{9}{2}y+\frac{45}{2}+2y=-10$$

הוסף את ‎\frac{9y}{2} ל- ‎2y.

$$\frac{13}{2}y+\frac{45}{2}=-10$$

החסר ‎\frac{45}{2} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{13}{2}y=-\frac{65}{2}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{13}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-5$$

השתמש ב- ‎-5 במקום y ב- ‎x=-\frac{3}{4}y-\frac{15}{4}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{3}{4}\left(-5\right)-\frac{15}{4}$$

הכפל את ‎-\frac{3}{4} ב- ‎-5.

$$x=\frac{15-15}{4}$$

הוסף את ‎-\frac{15}{4} ל- ‎\frac{15}{4} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=0$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=0,y=-5$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-8x-6y=30,-6x+2y=-10$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-8&-6\\-6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\\-10\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-8&-6\\-6&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&-6\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&-6\\-6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-6\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\-10\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-6\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\-10\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-6\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\-10\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-8\times 2-\left(-6\left(-6\right)\right)}&-\frac{-6}{-8\times 2-\left(-6\left(-6\right)\right)}\\-\frac{-6}{-8\times 2-\left(-6\left(-6\right)\right)}&-\frac{8}{-8\times 2-\left(-6\left(-6\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\-10\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{26}&-\frac{3}{26}\\-\frac{3}{26}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\-10\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{26}\times 30-\frac{3}{26}\left(-10\right)\\-\frac{3}{26}\times 30+\frac{2}{13}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=0,y=-5$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-8x-6y=30,-6x+2y=-10$$

כדי להפוך את ‎-8x ו- ‎-6x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-6 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-8.

$$-6\left(-8\right)x-6\left(-6\right)y=-6\times 30,-8\left(-6\right)x-8\times 2y=-8\left(-10\right)$$

פשט.

$$48x+36y=-180,48x-16y=80$$

החסר את ‎48x-16y=80 מ- ‎48x+36y=-180 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$48x-48x+36y+16y=-180-80$$

הוסף את ‎48x ל- ‎-48x. האיברים ‎48x ו- ‎-48x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$36y+16y=-180-80$$

הוסף את ‎36y ל- ‎16y.

$$52y=-180-80$$

הוסף את ‎-180 ל- ‎-80.

$$52y=-260$$

חלק את שני האגפים ב- ‎52.

$$y=-5$$

השתמש ב- ‎-5 במקום y ב- ‎-6x+2y=-10. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-6x+2\left(-5\right)=-10$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-5.

$$-6x-10=-10$$

הוסף ‎10 לשני אגפי המשוואה.

$$-6x=0$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-6.

$$x=0$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=0,y=-5$$