פתור את {l}{-8x-6y=-10}{x-y=17}

$$\left. \begin{array} { l } { - 8 x - 6 y = - 10 } \\ { x - y = 17 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=8$$

$$y=-9$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-8x-6y=-10,x-y=17$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-8x-6y=-10$$

הוסף ‎6y לשני אגפי המשוואה.

$$-8x=6y-10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-8.

$$x=-\frac{1}{8}\left(6y-10\right)$$

הכפל את ‎-\frac{1}{8} ב- ‎6y-10.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}$$

השתמש ב- ‎\frac{-3y+5}{4} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x-y=17.

$$-\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}-y=17$$

הוסף את ‎-\frac{3y}{4} ל- ‎-y.

$$-\frac{7}{4}y+\frac{5}{4}=17$$

החסר ‎\frac{5}{4} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{7}{4}y=\frac{63}{4}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{7}{4}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-9$$

השתמש ב- ‎-9 במקום y ב- ‎x=-\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{3}{4}\left(-9\right)+\frac{5}{4}$$

הכפל את ‎-\frac{3}{4} ב- ‎-9.

$$x=\frac{27+5}{4}$$

הוסף את ‎\frac{5}{4} ל- ‎\frac{27}{4} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=8$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=8,y=-9$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-8x-6y=-10,x-y=17$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-8&-6\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\17\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-8&-6\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&-6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&-6\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\17\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\17\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\17\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-8\left(-1\right)-\left(-6\right)}&-\frac{-6}{-8\left(-1\right)-\left(-6\right)}\\-\frac{1}{-8\left(-1\right)-\left(-6\right)}&-\frac{8}{-8\left(-1\right)-\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\17\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{14}&\frac{3}{7}\\-\frac{1}{14}&-\frac{4}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\17\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{14}\left(-10\right)+\frac{3}{7}\times 17\\-\frac{1}{14}\left(-10\right)-\frac{4}{7}\times 17\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-9\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=8,y=-9$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-8x-6y=-10,x-y=17$$

כדי להפוך את ‎-8x ו- ‎x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-8.

$$-8x-6y=-10,-8x-8\left(-1\right)y=-8\times 17$$

פשט.

$$-8x-6y=-10,-8x+8y=-136$$

החסר את ‎-8x+8y=-136 מ- ‎-8x-6y=-10 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-8x+8x-6y-8y=-10+136$$

הוסף את ‎-8x ל- ‎8x. האיברים ‎-8x ו- ‎8x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-6y-8y=-10+136$$

הוסף את ‎-6y ל- ‎-8y.

$$-14y=-10+136$$

הוסף את ‎-10 ל- ‎136.

$$-14y=126$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-14.

$$y=-9$$

השתמש ב- ‎-9 במקום y ב- ‎x-y=17. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x-\left(-9\right)=17$$

החסר ‎9 משני אגפי המשוואה.

$$x=8$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=8,y=-9$$