פתור את {l}{-8x+7y=13}{7x-9y=-20}

$$\left. \begin{array} { l } { - 8 x + 7 y = 13 } \\ { 7 x - 9 y = - 20 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=1$$

$$y=3$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-8x+7y=13,7x-9y=-20$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-8x+7y=13$$

החסר ‎7y משני אגפי המשוואה.

$$-8x=-7y+13$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-8.

$$x=-\frac{1}{8}\left(-7y+13\right)$$

הכפל את ‎-\frac{1}{8} ב- ‎-7y+13.

$$x=\frac{7}{8}y-\frac{13}{8}$$

השתמש ב- ‎\frac{7y-13}{8} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎7x-9y=-20.

$$7\left(\frac{7}{8}y-\frac{13}{8}\right)-9y=-20$$

הכפל את ‎7 ב- ‎\frac{7y-13}{8}.

$$\frac{49}{8}y-\frac{91}{8}-9y=-20$$

הוסף את ‎\frac{49y}{8} ל- ‎-9y.

$$-\frac{23}{8}y-\frac{91}{8}=-20$$

הוסף ‎\frac{91}{8} לשני אגפי המשוואה.

$$-\frac{23}{8}y=-\frac{69}{8}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{23}{8}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=3$$

השתמש ב- ‎3 במקום y ב- ‎x=\frac{7}{8}y-\frac{13}{8}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{7}{8}\times 3-\frac{13}{8}$$

הכפל את ‎\frac{7}{8} ב- ‎3.

$$x=\frac{21-13}{8}$$

הוסף את ‎-\frac{13}{8} ל- ‎\frac{21}{8} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=3$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-8x+7y=13,7x-9y=-20$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-8&7\\7&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-20\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-8&7\\7&-9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\7&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&7\\7&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\7&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-20\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\7&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-20\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\7&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-20\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{-8\left(-9\right)-7\times 7}&-\frac{7}{-8\left(-9\right)-7\times 7}\\-\frac{7}{-8\left(-9\right)-7\times 7}&-\frac{8}{-8\left(-9\right)-7\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-20\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{23}&-\frac{7}{23}\\-\frac{7}{23}&-\frac{8}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-20\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{23}\times 13-\frac{7}{23}\left(-20\right)\\-\frac{7}{23}\times 13-\frac{8}{23}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=1,y=3$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-8x+7y=13,7x-9y=-20$$

כדי להפוך את ‎-8x ו- ‎7x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎7 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-8.

$$7\left(-8\right)x+7\times 7y=7\times 13,-8\times 7x-8\left(-9\right)y=-8\left(-20\right)$$

פשט.

$$-56x+49y=91,-56x+72y=160$$

החסר את ‎-56x+72y=160 מ- ‎-56x+49y=91 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-56x+56x+49y-72y=91-160$$

הוסף את ‎-56x ל- ‎56x. האיברים ‎-56x ו- ‎56x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$49y-72y=91-160$$

הוסף את ‎49y ל- ‎-72y.

$$-23y=91-160$$

הוסף את ‎91 ל- ‎-160.

$$-23y=-69$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-23.

$$y=3$$

השתמש ב- ‎3 במקום y ב- ‎7x-9y=-20. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$7x-9\times 3=-20$$

הכפל את ‎-9 ב- ‎3.

$$7x-27=-20$$

הוסף ‎27 לשני אגפי המשוואה.

$$7x=7$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$x=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=3$$