פתור את {l}{-8x+7y=-9}{-9x+7y=-18}

$$\left. \begin{array} { l } { - 8 x + 7 y = - 9 } \\ { - 9 x + 7 y = - 18 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=9$$

$$y=9$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-8x+7y=-9,-9x+7y=-18$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-8x+7y=-9$$

החסר ‎7y משני אגפי המשוואה.

$$-8x=-7y-9$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-8.

$$x=-\frac{1}{8}\left(-7y-9\right)$$

הכפל את ‎-\frac{1}{8} ב- ‎-7y-9.

$$x=\frac{7}{8}y+\frac{9}{8}$$

השתמש ב- ‎\frac{7y+9}{8} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-9x+7y=-18.

$$-9\left(\frac{7}{8}y+\frac{9}{8}\right)+7y=-18$$

הכפל את ‎-9 ב- ‎\frac{7y+9}{8}.

$$-\frac{63}{8}y-\frac{81}{8}+7y=-18$$

הוסף את ‎-\frac{63y}{8} ל- ‎7y.

$$-\frac{7}{8}y-\frac{81}{8}=-18$$

הוסף ‎\frac{81}{8} לשני אגפי המשוואה.

$$-\frac{7}{8}y=-\frac{63}{8}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{7}{8}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=9$$

השתמש ב- ‎9 במקום y ב- ‎x=\frac{7}{8}y+\frac{9}{8}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{7}{8}\times 9+\frac{9}{8}$$

הכפל את ‎\frac{7}{8} ב- ‎9.

$$x=\frac{63+9}{8}$$

הוסף את ‎\frac{9}{8} ל- ‎\frac{63}{8} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=9$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=9,y=9$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-8x+7y=-9,-9x+7y=-18$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-8&7\\-9&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-18\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-8&7\\-9&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\-9&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&7\\-9&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\-9&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-18\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\-9&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-18\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\-9&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-18\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{-8\times 7-7\left(-9\right)}&-\frac{7}{-8\times 7-7\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{-8\times 7-7\left(-9\right)}&-\frac{8}{-8\times 7-7\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-18\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{9}{7}&-\frac{8}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-18\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9-\left(-18\right)\\\frac{9}{7}\left(-9\right)-\frac{8}{7}\left(-18\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\9\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=9,y=9$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-8x+7y=-9,-9x+7y=-18$$

החסר את ‎-9x+7y=-18 מ- ‎-8x+7y=-9 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-8x+9x+7y-7y=-9+18$$

הוסף את ‎7y ל- ‎-7y. האיברים ‎7y ו- ‎-7y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-8x+9x=-9+18$$

הוסף את ‎-8x ל- ‎9x.

$$x=-9+18$$

הוסף את ‎-9 ל- ‎18.

$$x=9$$

השתמש ב- ‎9 במקום x ב- ‎-9x+7y=-18. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$-9\times 9+7y=-18$$

הכפל את ‎-9 ב- ‎9.

$$-81+7y=-18$$

הוסף ‎81 לשני אגפי המשוואה.

$$7y=63$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$y=9$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=9,y=9$$