פתור את {l}{-8x+4y=8}{8x-y=16}

$$\left. \begin{array} { l } { - 8 x + 4 y = 8 } \\ { 8 x - y = 16 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=3$$

$$y=8$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-8x+4y=8,8x-y=16$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-8x+4y=8$$

החסר ‎4y משני אגפי המשוואה.

$$-8x=-4y+8$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-8.

$$x=-\frac{1}{8}\left(-4y+8\right)$$

הכפל את ‎-\frac{1}{8} ב- ‎-4y+8.

$$x=\frac{1}{2}y-1$$

השתמש ב- ‎\frac{y}{2}-1 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎8x-y=16.

$$8\left(\frac{1}{2}y-1\right)-y=16$$

הכפל את ‎8 ב- ‎\frac{y}{2}-1.

$$4y-8-y=16$$

הוסף את ‎4y ל- ‎-y.

$$3y-8=16$$

הוסף ‎8 לשני אגפי המשוואה.

$$3y=24$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$y=8$$

השתמש ב- ‎8 במקום y ב- ‎x=\frac{1}{2}y-1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{1}{2}\times 8-1$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎8.

$$x=4-1$$

הוסף את ‎-1 ל- ‎4.

$$x=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=3,y=8$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-8x+4y=8,8x-y=16$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\16\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-8&4\\8&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\16\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\16\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\16\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-8\left(-1\right)-4\times 8}&-\frac{4}{-8\left(-1\right)-4\times 8}\\-\frac{8}{-8\left(-1\right)-4\times 8}&-\frac{8}{-8\left(-1\right)-4\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\16\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{24}&\frac{1}{6}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\16\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{24}\times 8+\frac{1}{6}\times 16\\\frac{1}{3}\times 8+\frac{1}{3}\times 16\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\8\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=3,y=8$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-8x+4y=8,8x-y=16$$

כדי להפוך את ‎-8x ו- ‎8x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎8 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-8.

$$8\left(-8\right)x+8\times 4y=8\times 8,-8\times 8x-8\left(-1\right)y=-8\times 16$$

פשט.

$$-64x+32y=64,-64x+8y=-128$$

החסר את ‎-64x+8y=-128 מ- ‎-64x+32y=64 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-64x+64x+32y-8y=64+128$$

הוסף את ‎-64x ל- ‎64x. האיברים ‎-64x ו- ‎64x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$32y-8y=64+128$$

הוסף את ‎32y ל- ‎-8y.

$$24y=64+128$$

הוסף את ‎64 ל- ‎128.

$$24y=192$$

חלק את שני האגפים ב- ‎24.

$$y=8$$

השתמש ב- ‎8 במקום y ב- ‎8x-y=16. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$8x-8=16$$

הוסף ‎8 לשני אגפי המשוואה.

$$8x=24$$

חלק את שני האגפים ב- ‎8.

$$x=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=3,y=8$$