פתור את {l}{-6x+y=-2}{-3x-6y=12}

$$\left. \begin{array} { l } { - 6 x + y = - 2 } \\ { - 3 x - 6 y = 12 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=0$$

$$y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-6x+y=-2,-3x-6y=12$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-6x+y=-2$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$-6x=-y-2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-6.

$$x=-\frac{1}{6}\left(-y-2\right)$$

הכפל את ‎-\frac{1}{6} ב- ‎-y-2.

$$x=\frac{1}{6}y+\frac{1}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{y}{6}+\frac{1}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-3x-6y=12.

$$-3\left(\frac{1}{6}y+\frac{1}{3}\right)-6y=12$$

הכפל את ‎-3 ב- ‎\frac{y}{6}+\frac{1}{3}.

$$-\frac{1}{2}y-1-6y=12$$

הוסף את ‎-\frac{y}{2} ל- ‎-6y.

$$-\frac{13}{2}y-1=12$$

הוסף ‎1 לשני אגפי המשוואה.

$$-\frac{13}{2}y=13$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{13}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-2$$

השתמש ב- ‎-2 במקום y ב- ‎x=\frac{1}{6}y+\frac{1}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{1}{6}\left(-2\right)+\frac{1}{3}$$

הכפל את ‎\frac{1}{6} ב- ‎-2.

$$x=\frac{-1+1}{3}$$

הוסף את ‎\frac{1}{3} ל- ‎-\frac{1}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=0$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=0,y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-6x+y=-2,-3x-6y=12$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-6&1\\-3&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\12\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-6&1\\-3&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-6&1\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6&1\\-3&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&1\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\12\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&1\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\12\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&1\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\12\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{-6\left(-6\right)-\left(-3\right)}&-\frac{1}{-6\left(-6\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{-6\left(-6\right)-\left(-3\right)}&-\frac{6}{-6\left(-6\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\12\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}&-\frac{1}{39}\\\frac{1}{13}&-\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\12\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}\left(-2\right)-\frac{1}{39}\times 12\\\frac{1}{13}\left(-2\right)-\frac{2}{13}\times 12\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=0,y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-6x+y=-2,-3x-6y=12$$

כדי להפוך את ‎-6x ו- ‎-3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-6.

$$-3\left(-6\right)x-3y=-3\left(-2\right),-6\left(-3\right)x-6\left(-6\right)y=-6\times 12$$

פשט.

$$18x-3y=6,18x+36y=-72$$

החסר את ‎18x+36y=-72 מ- ‎18x-3y=6 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$18x-18x-3y-36y=6+72$$

הוסף את ‎18x ל- ‎-18x. האיברים ‎18x ו- ‎-18x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-3y-36y=6+72$$

הוסף את ‎-3y ל- ‎-36y.

$$-39y=6+72$$

הוסף את ‎6 ל- ‎72.

$$-39y=78$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-39.

$$y=-2$$

השתמש ב- ‎-2 במקום y ב- ‎-3x-6y=12. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-3x-6\left(-2\right)=12$$

הכפל את ‎-6 ב- ‎-2.

$$-3x+12=12$$

החסר ‎12 משני אגפי המשוואה.

$$-3x=0$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-3.

$$x=0$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=0,y=-2$$