פתור את {l}{-6x+6y=-6}{2x-y=-4}

$$\left. \begin{array} { l } { - 6 x + 6 y = - 6 } \\ { 2 x - y = - 4 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-5$$

$$y=-6$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-6x+6y=-6,2x-y=-4$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-6x+6y=-6$$

החסר ‎6y משני אגפי המשוואה.

$$-6x=-6y-6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-6.

$$x=-\frac{1}{6}\left(-6y-6\right)$$

הכפל את ‎-\frac{1}{6} ב- ‎-6y-6.

$$x=y+1$$

השתמש ב- ‎y+1 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x-y=-4.

$$2\left(y+1\right)-y=-4$$

הכפל את ‎2 ב- ‎y+1.

$$2y+2-y=-4$$

הוסף את ‎2y ל- ‎-y.

$$y+2=-4$$

החסר ‎2 משני אגפי המשוואה.

$$y=-6$$

השתמש ב- ‎-6 במקום y ב- ‎x=y+1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-6+1$$

הוסף את ‎1 ל- ‎-6.

$$x=-5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-5,y=-6$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-6x+6y=-6,2x-y=-4$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-6&6\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-6&6\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-6&6\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6&6\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&6\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-4\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&6\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&6\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-4\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-6\left(-1\right)-6\times 2}&-\frac{6}{-6\left(-1\right)-6\times 2}\\-\frac{2}{-6\left(-1\right)-6\times 2}&-\frac{6}{-6\left(-1\right)-6\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-4\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&1\\\frac{1}{3}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\left(-6\right)-4\\\frac{1}{3}\left(-6\right)-4\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-5,y=-6$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-6x+6y=-6,2x-y=-4$$

כדי להפוך את ‎-6x ו- ‎2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-6.

$$2\left(-6\right)x+2\times 6y=2\left(-6\right),-6\times 2x-6\left(-1\right)y=-6\left(-4\right)$$

פשט.

$$-12x+12y=-12,-12x+6y=24$$

החסר את ‎-12x+6y=24 מ- ‎-12x+12y=-12 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-12x+12x+12y-6y=-12-24$$

הוסף את ‎-12x ל- ‎12x. האיברים ‎-12x ו- ‎12x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$12y-6y=-12-24$$

הוסף את ‎12y ל- ‎-6y.

$$6y=-12-24$$

הוסף את ‎-12 ל- ‎-24.

$$6y=-36$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$y=-6$$

השתמש ב- ‎-6 במקום y ב- ‎2x-y=-4. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x-\left(-6\right)=-4$$

החסר ‎6 משני אגפי המשוואה.

$$2x=-10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=-5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-5,y=-6$$