פתור את {l}{-6x+5y=1}{6x+4y=-10}

$$\left. \begin{array} { l } { - 6 x + 5 y = 1 } \\ { 6 x + 4 y = - 10 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-1$$

$$y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-6x+5y=1,6x+4y=-10$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-6x+5y=1$$

החסר ‎5y משני אגפי המשוואה.

$$-6x=-5y+1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-6.

$$x=-\frac{1}{6}\left(-5y+1\right)$$

הכפל את ‎-\frac{1}{6} ב- ‎-5y+1.

$$x=\frac{5}{6}y-\frac{1}{6}$$

השתמש ב- ‎\frac{5y-1}{6} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎6x+4y=-10.

$$6\left(\frac{5}{6}y-\frac{1}{6}\right)+4y=-10$$

הכפל את ‎6 ב- ‎\frac{5y-1}{6}.

$$5y-1+4y=-10$$

הוסף את ‎5y ל- ‎4y.

$$9y-1=-10$$

הוסף ‎1 לשני אגפי המשוואה.

$$9y=-9$$

חלק את שני האגפים ב- ‎9.

$$y=-1$$

השתמש ב- ‎-1 במקום y ב- ‎x=\frac{5}{6}y-\frac{1}{6}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{5}{6}\left(-1\right)-\frac{1}{6}$$

הכפל את ‎\frac{5}{6} ב- ‎-1.

$$x=\frac{-5-1}{6}$$

הוסף את ‎-\frac{1}{6} ל- ‎-\frac{5}{6} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-1,y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-6x+5y=1,6x+4y=-10$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-6&5\\6&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-6&5\\6&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-6&5\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6&5\\6&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&5\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&5\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&5\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{-6\times 4-5\times 6}&-\frac{5}{-6\times 4-5\times 6}\\-\frac{6}{-6\times 4-5\times 6}&-\frac{6}{-6\times 4-5\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{27}&\frac{5}{54}\\\frac{1}{9}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{27}+\frac{5}{54}\left(-10\right)\\\frac{1}{9}+\frac{1}{9}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-1,y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-6x+5y=1,6x+4y=-10$$

כדי להפוך את ‎-6x ו- ‎6x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎6 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-6.

$$6\left(-6\right)x+6\times 5y=6,-6\times 6x-6\times 4y=-6\left(-10\right)$$

פשט.

$$-36x+30y=6,-36x-24y=60$$

החסר את ‎-36x-24y=60 מ- ‎-36x+30y=6 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-36x+36x+30y+24y=6-60$$

הוסף את ‎-36x ל- ‎36x. האיברים ‎-36x ו- ‎36x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$30y+24y=6-60$$

הוסף את ‎30y ל- ‎24y.

$$54y=6-60$$

הוסף את ‎6 ל- ‎-60.

$$54y=-54$$

חלק את שני האגפים ב- ‎54.

$$y=-1$$

השתמש ב- ‎-1 במקום y ב- ‎6x+4y=-10. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$6x+4\left(-1\right)=-10$$

הכפל את ‎4 ב- ‎-1.

$$6x-4=-10$$

הוסף ‎4 לשני אגפי המשוואה.

$$6x=-6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$x=-1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-1,y=-1$$