פתור את {l}{-6x+3y=15}{-6x-7y=-15}

$$\left. \begin{array} { l } { - 6 x + 3 y = 15 } \\ { - 6 x - 7 y = - 15 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-1$$

$$y=3$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-6x+3y=15,-6x-7y=-15$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-6x+3y=15$$

החסר ‎3y משני אגפי המשוואה.

$$-6x=-3y+15$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-6.

$$x=-\frac{1}{6}\left(-3y+15\right)$$

הכפל את ‎-\frac{1}{6} ב- ‎-3y+15.

$$x=\frac{1}{2}y-\frac{5}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{-5+y}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-6x-7y=-15.

$$-6\left(\frac{1}{2}y-\frac{5}{2}\right)-7y=-15$$

הכפל את ‎-6 ב- ‎\frac{-5+y}{2}.

$$-3y+15-7y=-15$$

הוסף את ‎-3y ל- ‎-7y.

$$-10y+15=-15$$

החסר ‎15 משני אגפי המשוואה.

$$-10y=-30$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-10.

$$y=3$$

השתמש ב- ‎3 במקום y ב- ‎x=\frac{1}{2}y-\frac{5}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{1}{2}\times 3-\frac{5}{2}$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎3.

$$x=\frac{3-5}{2}$$

הוסף את ‎-\frac{5}{2} ל- ‎\frac{3}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-1,y=3$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-6x+3y=15,-6x-7y=-15$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-6&3\\-6&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\-15\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-6&3\\-6&-7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-6&3\\-6&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6&3\\-6&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&3\\-6&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-15\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&3\\-6&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-15\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&3\\-6&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-15\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{-6\left(-7\right)-3\left(-6\right)}&-\frac{3}{-6\left(-7\right)-3\left(-6\right)}\\-\frac{-6}{-6\left(-7\right)-3\left(-6\right)}&-\frac{6}{-6\left(-7\right)-3\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-15\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{60}&-\frac{1}{20}\\\frac{1}{10}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-15\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{60}\times 15-\frac{1}{20}\left(-15\right)\\\frac{1}{10}\times 15-\frac{1}{10}\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-1,y=3$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-6x+3y=15,-6x-7y=-15$$

החסר את ‎-6x-7y=-15 מ- ‎-6x+3y=15 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-6x+6x+3y+7y=15+15$$

הוסף את ‎-6x ל- ‎6x. האיברים ‎-6x ו- ‎6x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$3y+7y=15+15$$

הוסף את ‎3y ל- ‎7y.

$$10y=15+15$$

הוסף את ‎15 ל- ‎15.

$$10y=30$$

חלק את שני האגפים ב- ‎10.

$$y=3$$

השתמש ב- ‎3 במקום y ב- ‎-6x-7y=-15. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-6x-7\times 3=-15$$

הכפל את ‎-7 ב- ‎3.

$$-6x-21=-15$$

הוסף ‎21 לשני אגפי המשוואה.

$$-6x=6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-6.

$$x=-1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-1,y=3$$