פתור את {l}{-6x+10y=28}{7x-10y=-21}

$$\left. \begin{array} { l } { - 6 x + 10 y = 28 } \\ { 7 x - 10 y = - 21 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=7$$

$$y=7$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-6x+10y=28,7x-10y=-21$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-6x+10y=28$$

החסר ‎10y משני אגפי המשוואה.

$$-6x=-10y+28$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-6.

$$x=-\frac{1}{6}\left(-10y+28\right)$$

הכפל את ‎-\frac{1}{6} ב- ‎-10y+28.

$$x=\frac{5}{3}y-\frac{14}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{5y-14}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎7x-10y=-21.

$$7\left(\frac{5}{3}y-\frac{14}{3}\right)-10y=-21$$

הכפל את ‎7 ב- ‎\frac{5y-14}{3}.

$$\frac{35}{3}y-\frac{98}{3}-10y=-21$$

הוסף את ‎\frac{35y}{3} ל- ‎-10y.

$$\frac{5}{3}y-\frac{98}{3}=-21$$

הוסף ‎\frac{98}{3} לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{5}{3}y=\frac{35}{3}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{5}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=7$$

השתמש ב- ‎7 במקום y ב- ‎x=\frac{5}{3}y-\frac{14}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{5}{3}\times 7-\frac{14}{3}$$

הכפל את ‎\frac{5}{3} ב- ‎7.

$$x=\frac{35-14}{3}$$

הוסף את ‎-\frac{14}{3} ל- ‎\frac{35}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=7$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=7,y=7$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-6x+10y=28,7x-10y=-21$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-6&10\\7&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\-21\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-6&10\\7&-10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-6&10\\7&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6&10\\7&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&10\\7&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\-21\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&10\\7&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\-21\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&10\\7&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\-21\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{-6\left(-10\right)-10\times 7}&-\frac{10}{-6\left(-10\right)-10\times 7}\\-\frac{7}{-6\left(-10\right)-10\times 7}&-\frac{6}{-6\left(-10\right)-10\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\-21\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{7}{10}&\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\-21\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28-21\\\frac{7}{10}\times 28+\frac{3}{5}\left(-21\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\7\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=7,y=7$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-6x+10y=28,7x-10y=-21$$

כדי להפוך את ‎-6x ו- ‎7x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎7 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-6.

$$7\left(-6\right)x+7\times 10y=7\times 28,-6\times 7x-6\left(-10\right)y=-6\left(-21\right)$$

פשט.

$$-42x+70y=196,-42x+60y=126$$

החסר את ‎-42x+60y=126 מ- ‎-42x+70y=196 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-42x+42x+70y-60y=196-126$$

הוסף את ‎-42x ל- ‎42x. האיברים ‎-42x ו- ‎42x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$70y-60y=196-126$$

הוסף את ‎70y ל- ‎-60y.

$$10y=196-126$$

הוסף את ‎196 ל- ‎-126.

$$10y=70$$

חלק את שני האגפים ב- ‎10.

$$y=7$$

השתמש ב- ‎7 במקום y ב- ‎7x-10y=-21. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$7x-10\times 7=-21$$

הכפל את ‎-10 ב- ‎7.

$$7x-70=-21$$

הוסף ‎70 לשני אגפי המשוואה.

$$7x=49$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$x=7$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=7,y=7$$