פתור את {l}{-5y+8x=-18}{5y+2x=58}

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 y + 8 x = - 18 } \\ { 5 y + 2 x = 58 } \end{array} \right.$$

פתור עבור y, x

$$x=4$$

$$y=10$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-5y+8x=-18,5y+2x=58$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור y על-ידי בידוד y בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-5y+8x=-18$$

החסר ‎8x משני אגפי המשוואה.

$$-5y=-8x-18$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-5.

$$y=-\frac{1}{5}\left(-8x-18\right)$$

הכפל את ‎-\frac{1}{5} ב- ‎-8x-18.

$$y=\frac{8}{5}x+\frac{18}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{8x+18}{5} במקום ‎y במשוואה השניה, ‎5y+2x=58.

$$5\left(\frac{8}{5}x+\frac{18}{5}\right)+2x=58$$

הכפל את ‎5 ב- ‎\frac{8x+18}{5}.

$$8x+18+2x=58$$

הוסף את ‎8x ל- ‎2x.

$$10x+18=58$$

החסר ‎18 משני אגפי המשוואה.

$$10x=40$$

חלק את שני האגפים ב- ‎10.

$$x=4$$

השתמש ב- ‎4 במקום x ב- ‎y=\frac{8}{5}x+\frac{18}{5}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y=\frac{8}{5}\times 4+\frac{18}{5}$$

הכפל את ‎\frac{8}{5} ב- ‎4.

$$y=\frac{32+18}{5}$$

הוסף את ‎\frac{18}{5} ל- ‎\frac{32}{5} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$y=10$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=10,x=4$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-5y+8x=-18,5y+2x=58$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-5\times 2-8\times 5}&-\frac{8}{-5\times 2-8\times 5}\\-\frac{5}{-5\times 2-8\times 5}&-\frac{5}{-5\times 2-8\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{25}&\frac{4}{25}\\\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{25}\left(-18\right)+\frac{4}{25}\times 58\\\frac{1}{10}\left(-18\right)+\frac{1}{10}\times 58\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\4\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה y ו- x.

$$y=10,x=4$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-5y+8x=-18,5y+2x=58$$

כדי להפוך את ‎-5y ו- ‎5y לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎5 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-5.

$$5\left(-5\right)y+5\times 8x=5\left(-18\right),-5\times 5y-5\times 2x=-5\times 58$$

פשט.

$$-25y+40x=-90,-25y-10x=-290$$

החסר את ‎-25y-10x=-290 מ- ‎-25y+40x=-90 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-25y+25y+40x+10x=-90+290$$

הוסף את ‎-25y ל- ‎25y. האיברים ‎-25y ו- ‎25y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$40x+10x=-90+290$$

הוסף את ‎40x ל- ‎10x.

$$50x=-90+290$$

הוסף את ‎-90 ל- ‎290.

$$50x=200$$

חלק את שני האגפים ב- ‎50.

$$x=4$$

השתמש ב- ‎4 במקום x ב- ‎5y+2x=58. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$5y+2\times 4=58$$

הכפל את ‎2 ב- ‎4.

$$5y+8=58$$

החסר ‎8 משני אגפי המשוואה.

$$5y=50$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$y=10$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=10,x=4$$