פתור את {l}{-5*(x-y)+3y=2x}{2y-(6x+7)=-2}

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 \cdot ( x - y ) + 3 y = 2 x } \\ { 2 y - ( 6 x + 7 ) = - 2 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = -\frac{20}{17} = -1\frac{3}{17} \approx -1.176470588$$

$$y = -\frac{35}{34} = -1\frac{1}{34} \approx -1.029411765$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -5 ב- x-y.

$$-5x+5y+3y=2x$$

כנס את ‎5y ו- ‎3y כדי לקבל ‎8y.

$$-5x+8y=2x$$

החסר ‎2x משני האגפים.

$$-5x+8y-2x=0$$

כנס את ‎-5x ו- ‎-2x כדי לקבל ‎-7x.

$$-7x+8y=0$$

שקול את המשוואה השניה. כדי למצוא את ההופכי של ‎6x+7, מצא את ההופכי של כל איבר.

$$2y-6x-7=-2$$

הוסף ‎7 משני הצדדים.

$$2y-6x=-2+7$$

חבר את ‎-2 ו- ‎7 כדי לקבל ‎5.

$$2y-6x=5$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-7x+8y=0,-6x+2y=5$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-7x+8y=0$$

החסר ‎8y משני אגפי המשוואה.

$$-7x=-8y$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-7.

$$x=-\frac{1}{7}\left(-8\right)y$$

הכפל את ‎-\frac{1}{7} ב- ‎-8y.

$$x=\frac{8}{7}y$$

השתמש ב- ‎\frac{8y}{7} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-6x+2y=5.

$$-6\times \frac{8}{7}y+2y=5$$

הכפל את ‎-6 ב- ‎\frac{8y}{7}.

$$-\frac{48}{7}y+2y=5$$

הוסף את ‎-\frac{48y}{7} ל- ‎2y.

$$-\frac{34}{7}y=5$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{34}{7}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-\frac{35}{34}$$

השתמש ב- ‎-\frac{35}{34} במקום y ב- ‎x=\frac{8}{7}y. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{8}{7}\left(-\frac{35}{34}\right)$$

הכפל את ‎\frac{8}{7} ב- ‎-\frac{35}{34} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{20}{17}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{20}{17},y=-\frac{35}{34}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -5 ב- x-y.

$$-5x+5y+3y=2x$$

כנס את ‎5y ו- ‎3y כדי לקבל ‎8y.

$$-5x+8y=2x$$

החסר ‎2x משני האגפים.

$$-5x+8y-2x=0$$

כנס את ‎-5x ו- ‎-2x כדי לקבל ‎-7x.

$$-7x+8y=0$$

שקול את המשוואה השניה. כדי למצוא את ההופכי של ‎6x+7, מצא את ההופכי של כל איבר.

$$2y-6x-7=-2$$

הוסף ‎7 משני הצדדים.

$$2y-6x=-2+7$$

חבר את ‎-2 ו- ‎7 כדי לקבל ‎5.

$$2y-6x=5$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-7x+8y=0,-6x+2y=5$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-7\times 2-8\left(-6\right)}&-\frac{8}{-7\times 2-8\left(-6\right)}\\-\frac{-6}{-7\times 2-8\left(-6\right)}&-\frac{7}{-7\times 2-8\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}&-\frac{4}{17}\\\frac{3}{17}&-\frac{7}{34}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{17}\times 5\\-\frac{7}{34}\times 5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{17}\\-\frac{35}{34}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-\frac{20}{17},y=-\frac{35}{34}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -5 ב- x-y.

$$-5x+5y+3y=2x$$

כנס את ‎5y ו- ‎3y כדי לקבל ‎8y.

$$-5x+8y=2x$$

החסר ‎2x משני האגפים.

$$-5x+8y-2x=0$$

כנס את ‎-5x ו- ‎-2x כדי לקבל ‎-7x.

$$-7x+8y=0$$

שקול את המשוואה השניה. כדי למצוא את ההופכי של ‎6x+7, מצא את ההופכי של כל איבר.

$$2y-6x-7=-2$$

הוסף ‎7 משני הצדדים.

$$2y-6x=-2+7$$

חבר את ‎-2 ו- ‎7 כדי לקבל ‎5.

$$2y-6x=5$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-7x+8y=0,-6x+2y=5$$

כדי להפוך את ‎-7x ו- ‎-6x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-6 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-7.

$$-6\left(-7\right)x-6\times 8y=0,-7\left(-6\right)x-7\times 2y=-7\times 5$$

פשט.

$$42x-48y=0,42x-14y=-35$$

החסר את ‎42x-14y=-35 מ- ‎42x-48y=0 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$42x-42x-48y+14y=35$$

הוסף את ‎42x ל- ‎-42x. האיברים ‎42x ו- ‎-42x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-48y+14y=35$$

הוסף את ‎-48y ל- ‎14y.

$$-34y=35$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-34.

$$y=-\frac{35}{34}$$

השתמש ב- ‎-\frac{35}{34} במקום y ב- ‎-6x+2y=5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-6x+2\left(-\frac{35}{34}\right)=5$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-\frac{35}{34}.

$$-6x-\frac{35}{17}=5$$

הוסף ‎\frac{35}{17} לשני אגפי המשוואה.

$$-6x=\frac{120}{17}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-6.

$$x=-\frac{20}{17}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{20}{17},y=-\frac{35}{34}$$