פתור את {l}{-4x-2y=-22}{-x+2y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { - 4 x - 2 y = - 22 } \\ { - x + 2 y = 2 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=4$$

$$y=3$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-4x-2y=-22,-x+2y=2$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-4x-2y=-22$$

הוסף ‎2y לשני אגפי המשוואה.

$$-4x=2y-22$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-4.

$$x=-\frac{1}{4}\left(2y-22\right)$$

הכפל את ‎-\frac{1}{4} ב- ‎-22+2y.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{11}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{-y+11}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-x+2y=2.

$$-\left(-\frac{1}{2}y+\frac{11}{2}\right)+2y=2$$

הכפל את ‎-1 ב- ‎\frac{-y+11}{2}.

$$\frac{1}{2}y-\frac{11}{2}+2y=2$$

הוסף את ‎\frac{y}{2} ל- ‎2y.

$$\frac{5}{2}y-\frac{11}{2}=2$$

הוסף ‎\frac{11}{2} לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{5}{2}y=\frac{15}{2}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{5}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=3$$

השתמש ב- ‎3 במקום y ב- ‎x=-\frac{1}{2}y+\frac{11}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{1}{2}\times 3+\frac{11}{2}$$

הכפל את ‎-\frac{1}{2} ב- ‎3.

$$x=\frac{-3+11}{2}$$

הוסף את ‎\frac{11}{2} ל- ‎-\frac{3}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=4,y=3$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-4x-2y=-22,-x+2y=2$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-4&-2\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-22\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-4&-2\\-1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&-2\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&-2\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-2\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-22\\2\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-2\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-22\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-2\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-22\\2\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-4\times 2-\left(-2\left(-1\right)\right)}&-\frac{-2}{-4\times 2-\left(-2\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{-4\times 2-\left(-2\left(-1\right)\right)}&-\frac{4}{-4\times 2-\left(-2\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-22\\2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{1}{10}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-22\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\left(-22\right)-\frac{1}{5}\times 2\\-\frac{1}{10}\left(-22\right)+\frac{2}{5}\times 2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=4,y=3$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-4x-2y=-22,-x+2y=2$$

כדי להפוך את ‎-4x ו- ‎-x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-4.

$$-\left(-4\right)x-\left(-2y\right)=-\left(-22\right),-4\left(-1\right)x-4\times 2y=-4\times 2$$

פשט.

$$4x+2y=22,4x-8y=-8$$

החסר את ‎4x-8y=-8 מ- ‎4x+2y=22 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$4x-4x+2y+8y=22+8$$

הוסף את ‎4x ל- ‎-4x. האיברים ‎4x ו- ‎-4x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$2y+8y=22+8$$

הוסף את ‎2y ל- ‎8y.

$$10y=22+8$$

הוסף את ‎22 ל- ‎8.

$$10y=30$$

חלק את שני האגפים ב- ‎10.

$$y=3$$

השתמש ב- ‎3 במקום y ב- ‎-x+2y=2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-x+2\times 3=2$$

הכפל את ‎2 ב- ‎3.

$$-x+6=2$$

החסר ‎6 משני אגפי המשוואה.

$$-x=-4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$x=4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=4,y=3$$