פתור את {l}{-4x-10y=20}{8x+10y=20}

$$\left. \begin{array} { l } { - 4 x - 10 y = 20 } \\ { 8 x + 10 y = 20 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=10$$

$$y=-6$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-4x-10y=20,8x+10y=20$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-4x-10y=20$$

הוסף ‎10y לשני אגפי המשוואה.

$$-4x=10y+20$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-4.

$$x=-\frac{1}{4}\left(10y+20\right)$$

הכפל את ‎-\frac{1}{4} ב- ‎20+10y.

$$x=-\frac{5}{2}y-5$$

השתמש ב- ‎-\frac{5y}{2}-5 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎8x+10y=20.

$$8\left(-\frac{5}{2}y-5\right)+10y=20$$

הכפל את ‎8 ב- ‎-\frac{5y}{2}-5.

$$-20y-40+10y=20$$

הוסף את ‎-20y ל- ‎10y.

$$-10y-40=20$$

הוסף ‎40 לשני אגפי המשוואה.

$$-10y=60$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-10.

$$y=-6$$

השתמש ב- ‎-6 במקום y ב- ‎x=-\frac{5}{2}y-5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{5}{2}\left(-6\right)-5$$

הכפל את ‎-\frac{5}{2} ב- ‎-6.

$$x=15-5$$

הוסף את ‎-5 ל- ‎15.

$$x=10$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=10,y=-6$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-4x-10y=20,8x+10y=20$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{-4\times 10-\left(-10\times 8\right)}&-\frac{-10}{-4\times 10-\left(-10\times 8\right)}\\-\frac{8}{-4\times 10-\left(-10\times 8\right)}&-\frac{4}{-4\times 10-\left(-10\times 8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{5}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 20+\frac{1}{4}\times 20\\-\frac{1}{5}\times 20-\frac{1}{10}\times 20\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-6\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=10,y=-6$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-4x-10y=20,8x+10y=20$$

כדי להפוך את ‎-4x ו- ‎8x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎8 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-4.

$$8\left(-4\right)x+8\left(-10\right)y=8\times 20,-4\times 8x-4\times 10y=-4\times 20$$

פשט.

$$-32x-80y=160,-32x-40y=-80$$

החסר את ‎-32x-40y=-80 מ- ‎-32x-80y=160 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-32x+32x-80y+40y=160+80$$

הוסף את ‎-32x ל- ‎32x. האיברים ‎-32x ו- ‎32x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-80y+40y=160+80$$

הוסף את ‎-80y ל- ‎40y.

$$-40y=160+80$$

הוסף את ‎160 ל- ‎80.

$$-40y=240$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-40.

$$y=-6$$

השתמש ב- ‎-6 במקום y ב- ‎8x+10y=20. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$8x+10\left(-6\right)=20$$

הכפל את ‎10 ב- ‎-6.

$$8x-60=20$$

הוסף ‎60 לשני אגפי המשוואה.

$$8x=80$$

חלק את שני האגפים ב- ‎8.

$$x=10$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=10,y=-6$$