פתור את {l}{-4x+y=6}{-5x-y=21}

$$\left. \begin{array} { l } { - 4 x + y = 6 } \\ { - 5 x - y = 21 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-3$$

$$y=-6$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-4x+y=6,-5x-y=21$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-4x+y=6$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$-4x=-y+6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-4.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-y+6\right)$$

הכפל את ‎-\frac{1}{4} ב- ‎-y+6.

$$x=\frac{1}{4}y-\frac{3}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{y}{4}-\frac{3}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-5x-y=21.

$$-5\left(\frac{1}{4}y-\frac{3}{2}\right)-y=21$$

הכפל את ‎-5 ב- ‎\frac{y}{4}-\frac{3}{2}.

$$-\frac{5}{4}y+\frac{15}{2}-y=21$$

הוסף את ‎-\frac{5y}{4} ל- ‎-y.

$$-\frac{9}{4}y+\frac{15}{2}=21$$

החסר ‎\frac{15}{2} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{9}{4}y=\frac{27}{2}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{9}{4}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-6$$

השתמש ב- ‎-6 במקום y ב- ‎x=\frac{1}{4}y-\frac{3}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{1}{4}\left(-6\right)-\frac{3}{2}$$

הכפל את ‎\frac{1}{4} ב- ‎-6.

$$x=\frac{-3-3}{2}$$

הוסף את ‎-\frac{3}{2} ל- ‎-\frac{3}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-3,y=-6$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-4x+y=6,-5x-y=21$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-4&1\\-5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\21\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-4&1\\-5&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&1\\-5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&1\\-5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&1\\-5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\21\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&1\\-5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\21\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&1\\-5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\21\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-4\left(-1\right)-\left(-5\right)}&-\frac{1}{-4\left(-1\right)-\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{-4\left(-1\right)-\left(-5\right)}&-\frac{4}{-4\left(-1\right)-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\21\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}&-\frac{1}{9}\\\frac{5}{9}&-\frac{4}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\21\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}\times 6-\frac{1}{9}\times 21\\\frac{5}{9}\times 6-\frac{4}{9}\times 21\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-6\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-3,y=-6$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-4x+y=6,-5x-y=21$$

כדי להפוך את ‎-4x ו- ‎-5x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-5 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-4.

$$-5\left(-4\right)x-5y=-5\times 6,-4\left(-5\right)x-4\left(-1\right)y=-4\times 21$$

פשט.

$$20x-5y=-30,20x+4y=-84$$

החסר את ‎20x+4y=-84 מ- ‎20x-5y=-30 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$20x-20x-5y-4y=-30+84$$

הוסף את ‎20x ל- ‎-20x. האיברים ‎20x ו- ‎-20x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-5y-4y=-30+84$$

הוסף את ‎-5y ל- ‎-4y.

$$-9y=-30+84$$

הוסף את ‎-30 ל- ‎84.

$$-9y=54$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-9.

$$y=-6$$

השתמש ב- ‎-6 במקום y ב- ‎-5x-y=21. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-5x-\left(-6\right)=21$$

החסר ‎6 משני אגפי המשוואה.

$$-5x=15$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-5.

$$x=-3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-3,y=-6$$