פתור את {l}{-4x+9y=9}{x-3y=-6}

$$\left. \begin{array} { l } { - 4 x + 9 y = 9 } \\ { x - 3 y = - 6 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=9$$

$$y=5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-4x+9y=9,x-3y=-6$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-4x+9y=9$$

החסר ‎9y משני אגפי המשוואה.

$$-4x=-9y+9$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-4.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-9y+9\right)$$

הכפל את ‎-\frac{1}{4} ב- ‎-9y+9.

$$x=\frac{9}{4}y-\frac{9}{4}$$

השתמש ב- ‎\frac{-9+9y}{4} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x-3y=-6.

$$\frac{9}{4}y-\frac{9}{4}-3y=-6$$

הוסף את ‎\frac{9y}{4} ל- ‎-3y.

$$-\frac{3}{4}y-\frac{9}{4}=-6$$

הוסף ‎\frac{9}{4} לשני אגפי המשוואה.

$$-\frac{3}{4}y=-\frac{15}{4}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{3}{4}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=5$$

השתמש ב- ‎5 במקום y ב- ‎x=\frac{9}{4}y-\frac{9}{4}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{9}{4}\times 5-\frac{9}{4}$$

הכפל את ‎\frac{9}{4} ב- ‎5.

$$x=\frac{45-9}{4}$$

הוסף את ‎-\frac{9}{4} ל- ‎\frac{45}{4} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=9$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=9,y=5$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-4x+9y=9,x-3y=-6$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-4&9\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-4&9\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&9\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&9\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&9\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-6\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&9\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&9\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-6\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-4\left(-3\right)-9}&-\frac{9}{-4\left(-3\right)-9}\\-\frac{1}{-4\left(-3\right)-9}&-\frac{4}{-4\left(-3\right)-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-6\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-3\\-\frac{1}{3}&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9-3\left(-6\right)\\-\frac{1}{3}\times 9-\frac{4}{3}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\5\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=9,y=5$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-4x+9y=9,x-3y=-6$$

כדי להפוך את ‎-4x ו- ‎x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-4.

$$-4x+9y=9,-4x-4\left(-3\right)y=-4\left(-6\right)$$

פשט.

$$-4x+9y=9,-4x+12y=24$$

החסר את ‎-4x+12y=24 מ- ‎-4x+9y=9 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-4x+4x+9y-12y=9-24$$

הוסף את ‎-4x ל- ‎4x. האיברים ‎-4x ו- ‎4x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$9y-12y=9-24$$

הוסף את ‎9y ל- ‎-12y.

$$-3y=9-24$$

הוסף את ‎9 ל- ‎-24.

$$-3y=-15$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-3.

$$y=5$$

השתמש ב- ‎5 במקום y ב- ‎x-3y=-6. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x-3\times 5=-6$$

הכפל את ‎-3 ב- ‎5.

$$x-15=-6$$

הוסף ‎15 לשני אגפי המשוואה.

$$x=9$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=9,y=5$$