פתור את {l}{-4x+7y+5=0}{x-3y=-5}

$$\left. \begin{array} { l } { - 4 x + 7 y + 5 = 0 } \\ { x - 3 y = - 5 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=10$$

$$y=5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-4x+7y+5=0,x-3y=-5$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-4x+7y+5=0$$

החסר ‎5 משני אגפי המשוואה.

$$-4x+7y=-5$$

החסר ‎7y משני אגפי המשוואה.

$$-4x=-7y-5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-4.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-7y-5\right)$$

הכפל את ‎-\frac{1}{4} ב- ‎-7y-5.

$$x=\frac{7}{4}y+\frac{5}{4}$$

השתמש ב- ‎\frac{7y+5}{4} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x-3y=-5.

$$\frac{7}{4}y+\frac{5}{4}-3y=-5$$

הוסף את ‎\frac{7y}{4} ל- ‎-3y.

$$-\frac{5}{4}y+\frac{5}{4}=-5$$

החסר ‎\frac{5}{4} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{5}{4}y=-\frac{25}{4}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{5}{4}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=5$$

השתמש ב- ‎5 במקום y ב- ‎x=\frac{7}{4}y+\frac{5}{4}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{7}{4}\times 5+\frac{5}{4}$$

הכפל את ‎\frac{7}{4} ב- ‎5.

$$x=\frac{35+5}{4}$$

הוסף את ‎\frac{5}{4} ל- ‎\frac{35}{4} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=10$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=10,y=5$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-4x+7y+5=0,x-3y=-5$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-4&7\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-4&7\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&7\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&7\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&7\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-5\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&7\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&7\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-5\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-4\left(-3\right)-7}&-\frac{7}{-4\left(-3\right)-7}\\-\frac{1}{-4\left(-3\right)-7}&-\frac{4}{-4\left(-3\right)-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}&-\frac{7}{5}\\-\frac{1}{5}&-\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}\left(-5\right)-\frac{7}{5}\left(-5\right)\\-\frac{1}{5}\left(-5\right)-\frac{4}{5}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=10,y=5$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-4x+7y+5=0,x-3y=-5$$

כדי להפוך את ‎-4x ו- ‎x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-4.

$$-4x+7y+5=0,-4x-4\left(-3\right)y=-4\left(-5\right)$$

פשט.

$$-4x+7y+5=0,-4x+12y=20$$

החסר את ‎-4x+12y=20 מ- ‎-4x+7y+5=0 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-4x+4x+7y-12y+5=-20$$

הוסף את ‎-4x ל- ‎4x. האיברים ‎-4x ו- ‎4x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$7y-12y+5=-20$$

הוסף את ‎7y ל- ‎-12y.

$$-5y+5=-20$$

החסר ‎5 משני אגפי המשוואה.

$$-5y=-25$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-5.

$$y=5$$

השתמש ב- ‎5 במקום y ב- ‎x-3y=-5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x-3\times 5=-5$$

הכפל את ‎-3 ב- ‎5.

$$x-15=-5$$

הוסף ‎15 לשני אגפי המשוואה.

$$x=10$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=10,y=5$$