פתור את {l}{-4x+5y=24}{y=2x}

$$\left. \begin{array} { l } { - 4 x + 5 y = 24 } \\ { y = 2 x } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=4$$

$$y=8$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎2x משני האגפים.

$$y-2x=0$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-4x+5y=24,-2x+y=0$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-4x+5y=24$$

החסר ‎5y משני אגפי המשוואה.

$$-4x=-5y+24$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-4.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-5y+24\right)$$

הכפל את ‎-\frac{1}{4} ב- ‎-5y+24.

$$x=\frac{5}{4}y-6$$

השתמש ב- ‎\frac{5y}{4}-6 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-2x+y=0.

$$-2\left(\frac{5}{4}y-6\right)+y=0$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎\frac{5y}{4}-6.

$$-\frac{5}{2}y+12+y=0$$

הוסף את ‎-\frac{5y}{2} ל- ‎y.

$$-\frac{3}{2}y+12=0$$

החסר ‎12 משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{3}{2}y=-12$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{3}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=8$$

השתמש ב- ‎8 במקום y ב- ‎x=\frac{5}{4}y-6. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{5}{4}\times 8-6$$

הכפל את ‎\frac{5}{4} ב- ‎8.

$$x=10-6$$

הוסף את ‎-6 ל- ‎10.

$$x=4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=4,y=8$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎2x משני האגפים.

$$y-2x=0$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-4x+5y=24,-2x+y=0$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-4&5\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-4&5\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&5\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&5\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&5\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\0\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&5\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&5\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\0\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-4-5\left(-2\right)}&-\frac{5}{-4-5\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{-4-5\left(-2\right)}&-\frac{4}{-4-5\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\0\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{5}{6}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 24\\\frac{1}{3}\times 24\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=4,y=8$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎2x משני האגפים.

$$y-2x=0$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-4x+5y=24,-2x+y=0$$

כדי להפוך את ‎-4x ו- ‎-2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-4.

$$-2\left(-4\right)x-2\times 5y=-2\times 24,-4\left(-2\right)x-4y=0$$

פשט.

$$8x-10y=-48,8x-4y=0$$

החסר את ‎8x-4y=0 מ- ‎8x-10y=-48 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$8x-8x-10y+4y=-48$$

הוסף את ‎8x ל- ‎-8x. האיברים ‎8x ו- ‎-8x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-10y+4y=-48$$

הוסף את ‎-10y ל- ‎4y.

$$-6y=-48$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-6.

$$y=8$$

השתמש ב- ‎8 במקום y ב- ‎-2x+y=0. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-2x+8=0$$

החסר ‎8 משני אגפי המשוואה.

$$-2x=-8$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-2.

$$x=4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=4,y=8$$