פתור את {l}{-3x-2y=6}{3x+3y=-9}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x - 2 y = 6 } \\ { 3 x + 3 y = - 9 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=0$$

$$y=-3$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-3x-2y=6,3x+3y=-9$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-3x-2y=6$$

הוסף ‎2y לשני אגפי המשוואה.

$$-3x=2y+6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-3.

$$x=-\frac{1}{3}\left(2y+6\right)$$

הכפל את ‎-\frac{1}{3} ב- ‎6+2y.

$$x=-\frac{2}{3}y-2$$

השתמש ב- ‎-\frac{2y}{3}-2 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x+3y=-9.

$$3\left(-\frac{2}{3}y-2\right)+3y=-9$$

הכפל את ‎3 ב- ‎-\frac{2y}{3}-2.

$$-2y-6+3y=-9$$

הוסף את ‎-2y ל- ‎3y.

$$y-6=-9$$

הוסף ‎6 לשני אגפי המשוואה.

$$y=-3$$

השתמש ב- ‎-3 במקום y ב- ‎x=-\frac{2}{3}y-2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{2}{3}\left(-3\right)-2$$

הכפל את ‎-\frac{2}{3} ב- ‎-3.

$$x=2-2$$

הוסף את ‎-2 ל- ‎2.

$$x=0$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=0,y=-3$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-3x-2y=6,3x+3y=-9$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-3&-2\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-3&-2\\3&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&-2\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&-2\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&-2\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-9\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&-2\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&-2\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-9\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-3\times 3-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{-3\times 3-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{-3\times 3-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{3}{-3\times 3-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-9\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-\frac{2}{3}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6-\frac{2}{3}\left(-9\right)\\6-9\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=0,y=-3$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-3x-2y=6,3x+3y=-9$$

כדי להפוך את ‎-3x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-3.

$$3\left(-3\right)x+3\left(-2\right)y=3\times 6,-3\times 3x-3\times 3y=-3\left(-9\right)$$

פשט.

$$-9x-6y=18,-9x-9y=27$$

החסר את ‎-9x-9y=27 מ- ‎-9x-6y=18 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-9x+9x-6y+9y=18-27$$

הוסף את ‎-9x ל- ‎9x. האיברים ‎-9x ו- ‎9x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-6y+9y=18-27$$

הוסף את ‎-6y ל- ‎9y.

$$3y=18-27$$

הוסף את ‎18 ל- ‎-27.

$$3y=-9$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$y=-3$$

השתמש ב- ‎-3 במקום y ב- ‎3x+3y=-9. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x+3\left(-3\right)=-9$$

הכפל את ‎3 ב- ‎-3.

$$3x-9=-9$$

הוסף ‎9 לשני אגפי המשוואה.

$$3x=0$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=0$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=0,y=-3$$