פתור את {l}{-3x+3y=-9}{6x-y=-12}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x + 3 y = - 9 } \\ { 6 x - y = - 12 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-3$$

$$y=-6$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-3x+3y=-9,6x-y=-12$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-3x+3y=-9$$

החסר ‎3y משני אגפי המשוואה.

$$-3x=-3y-9$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-3.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-3y-9\right)$$

הכפל את ‎-\frac{1}{3} ב- ‎-3y-9.

$$x=y+3$$

השתמש ב- ‎y+3 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎6x-y=-12.

$$6\left(y+3\right)-y=-12$$

הכפל את ‎6 ב- ‎y+3.

$$6y+18-y=-12$$

הוסף את ‎6y ל- ‎-y.

$$5y+18=-12$$

החסר ‎18 משני אגפי המשוואה.

$$5y=-30$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$y=-6$$

השתמש ב- ‎-6 במקום y ב- ‎x=y+3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-6+3$$

הוסף את ‎3 ל- ‎-6.

$$x=-3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-3,y=-6$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-3x+3y=-9,6x-y=-12$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-3&3\\6&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-12\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-3&3\\6&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&3\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&3\\6&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&3\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-12\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&3\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-12\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&3\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-12\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-3\left(-1\right)-3\times 6}&-\frac{3}{-3\left(-1\right)-3\times 6}\\-\frac{6}{-3\left(-1\right)-3\times 6}&-\frac{3}{-3\left(-1\right)-3\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-12\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}&\frac{1}{5}\\\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-12\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}\left(-9\right)+\frac{1}{5}\left(-12\right)\\\frac{2}{5}\left(-9\right)+\frac{1}{5}\left(-12\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-6\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-3,y=-6$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-3x+3y=-9,6x-y=-12$$

כדי להפוך את ‎-3x ו- ‎6x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎6 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-3.

$$6\left(-3\right)x+6\times 3y=6\left(-9\right),-3\times 6x-3\left(-1\right)y=-3\left(-12\right)$$

פשט.

$$-18x+18y=-54,-18x+3y=36$$

החסר את ‎-18x+3y=36 מ- ‎-18x+18y=-54 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-18x+18x+18y-3y=-54-36$$

הוסף את ‎-18x ל- ‎18x. האיברים ‎-18x ו- ‎18x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$18y-3y=-54-36$$

הוסף את ‎18y ל- ‎-3y.

$$15y=-54-36$$

הוסף את ‎-54 ל- ‎-36.

$$15y=-90$$

חלק את שני האגפים ב- ‎15.

$$y=-6$$

השתמש ב- ‎-6 במקום y ב- ‎6x-y=-12. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$6x-\left(-6\right)=-12$$

החסר ‎6 משני אגפי המשוואה.

$$6x=-18$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$x=-3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-3,y=-6$$