פתור את {l}{-3x+3y=-3}{x-9y=-15}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x + 3 y = - 3 } \\ { x - 9 y = - 15 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=3$$

$$y=2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-3x+3y=-3,x-9y=-15$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-3x+3y=-3$$

החסר ‎3y משני אגפי המשוואה.

$$-3x=-3y-3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-3.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-3y-3\right)$$

הכפל את ‎-\frac{1}{3} ב- ‎-3y-3.

$$x=y+1$$

השתמש ב- ‎y+1 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x-9y=-15.

$$y+1-9y=-15$$

הוסף את ‎y ל- ‎-9y.

$$-8y+1=-15$$

החסר ‎1 משני אגפי המשוואה.

$$-8y=-16$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-8.

$$y=2$$

השתמש ב- ‎2 במקום y ב- ‎x=y+1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=2+1$$

הוסף את ‎1 ל- ‎2.

$$x=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=3,y=2$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-3x+3y=-3,x-9y=-15$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-3&3\\1&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-15\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-3&3\\1&-9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&3\\1&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-15\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-15\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-15\end{matrix}\right)$$

עבור מטריצת 2\times 2 ‎\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)‎, המטריצה ההפוכה היא ‎\left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)‎, כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{-3\left(-9\right)-3}&-\frac{3}{-3\left(-9\right)-3}\\-\frac{1}{-3\left(-9\right)-3}&-\frac{3}{-3\left(-9\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-15\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\\-\frac{1}{24}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-15\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{8}\left(-3\right)-\frac{1}{8}\left(-15\right)\\-\frac{1}{24}\left(-3\right)-\frac{1}{8}\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=3,y=2$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-3x+3y=-3,x-9y=-15$$

כדי להפוך את ‎-3x ו- ‎x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-3.

$$-3x+3y=-3,-3x-3\left(-9\right)y=-3\left(-15\right)$$

פשט.

$$-3x+3y=-3,-3x+27y=45$$

החסר את ‎-3x+27y=45 מ- ‎-3x+3y=-3 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-3x+3x+3y-27y=-3-45$$

הוסף את ‎-3x ל- ‎3x. האיברים ‎-3x ו- ‎3x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$3y-27y=-3-45$$

הוסף את ‎3y ל- ‎-27y.

$$-24y=-3-45$$

הוסף את ‎-3 ל- ‎-45.

$$-24y=-48$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-24.

$$y=2$$

השתמש ב- ‎2 במקום y ב- ‎x-9y=-15. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x-9\times 2=-15$$

הכפל את ‎-9 ב- ‎2.

$$x-18=-15$$

הוסף ‎18 לשני אגפי המשוואה.

$$x=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=3,y=2$$