פתור את {l}{-3x+15y=59}{3x+4y=17}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x + 15 y = 59 } \\ { 3 x + 4 y = 17 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$y=4$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-3x+15y=59,3x+4y=17$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-3x+15y=59$$

החסר ‎15y משני אגפי המשוואה.

$$-3x=-15y+59$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-3.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-15y+59\right)$$

הכפל את ‎-\frac{1}{3} ב- ‎-15y+59.

$$x=5y-\frac{59}{3}$$

השתמש ב- ‎5y-\frac{59}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x+4y=17.

$$3\left(5y-\frac{59}{3}\right)+4y=17$$

הכפל את ‎3 ב- ‎5y-\frac{59}{3}.

$$15y-59+4y=17$$

הוסף את ‎15y ל- ‎4y.

$$19y-59=17$$

הוסף ‎59 לשני אגפי המשוואה.

$$19y=76$$

חלק את שני האגפים ב- ‎19.

$$y=4$$

השתמש ב- ‎4 במקום y ב- ‎x=5y-\frac{59}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=5\times 4-\frac{59}{3}$$

הכפל את ‎5 ב- ‎4.

$$x=20-\frac{59}{3}$$

הוסף את ‎-\frac{59}{3} ל- ‎20.

$$x=\frac{1}{3}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{1}{3},y=4$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-3x+15y=59,3x+4y=17$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}59\\17\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\17\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\17\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\17\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{-3\times 4-15\times 3}&-\frac{15}{-3\times 4-15\times 3}\\-\frac{3}{-3\times 4-15\times 3}&-\frac{3}{-3\times 4-15\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}59\\17\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{57}&\frac{5}{19}\\\frac{1}{19}&\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}59\\17\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{57}\times 59+\frac{5}{19}\times 17\\\frac{1}{19}\times 59+\frac{1}{19}\times 17\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\4\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{1}{3},y=4$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-3x+15y=59,3x+4y=17$$

כדי להפוך את ‎-3x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-3.

$$3\left(-3\right)x+3\times 15y=3\times 59,-3\times 3x-3\times 4y=-3\times 17$$

פשט.

$$-9x+45y=177,-9x-12y=-51$$

החסר את ‎-9x-12y=-51 מ- ‎-9x+45y=177 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-9x+9x+45y+12y=177+51$$

הוסף את ‎-9x ל- ‎9x. האיברים ‎-9x ו- ‎9x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$45y+12y=177+51$$

הוסף את ‎45y ל- ‎12y.

$$57y=177+51$$

הוסף את ‎177 ל- ‎51.

$$57y=228$$

חלק את שני האגפים ב- ‎57.

$$y=4$$

השתמש ב- ‎4 במקום y ב- ‎3x+4y=17. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x+4\times 4=17$$

הכפל את ‎4 ב- ‎4.

$$3x+16=17$$

החסר ‎16 משני אגפי המשוואה.

$$3x=1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{1}{3},y=4$$