פתור את {l}{-2x-6y=-26}{5x+2y=13}

$$\left. \begin{array} { l } { - 2 x - 6 y = - 26 } \\ { 5 x + 2 y = 13 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=1$$

$$y=4$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-2x-6y=-26,5x+2y=13$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-2x-6y=-26$$

הוסף ‎6y לשני אגפי המשוואה.

$$-2x=6y-26$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-2.

$$x=-\frac{1}{2}\left(6y-26\right)$$

הכפל את ‎-\frac{1}{2} ב- ‎6y-26.

$$x=-3y+13$$

השתמש ב- ‎-3y+13 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎5x+2y=13.

$$5\left(-3y+13\right)+2y=13$$

הכפל את ‎5 ב- ‎-3y+13.

$$-15y+65+2y=13$$

הוסף את ‎-15y ל- ‎2y.

$$-13y+65=13$$

החסר ‎65 משני אגפי המשוואה.

$$-13y=-52$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-13.

$$y=4$$

השתמש ב- ‎4 במקום y ב- ‎x=-3y+13. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-3\times 4+13$$

הכפל את ‎-3 ב- ‎4.

$$x=-12+13$$

הוסף את ‎13 ל- ‎-12.

$$x=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=4$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-2x-6y=-26,5x+2y=13$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-2&-6\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-26\\13\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-2&-6\\5&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-6\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-6\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-6\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-26\\13\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-6\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-26\\13\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-6\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-26\\13\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-2\times 2-\left(-6\times 5\right)}&-\frac{-6}{-2\times 2-\left(-6\times 5\right)}\\-\frac{5}{-2\times 2-\left(-6\times 5\right)}&-\frac{2}{-2\times 2-\left(-6\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-26\\13\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{3}{13}\\-\frac{5}{26}&-\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-26\\13\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\left(-26\right)+\frac{3}{13}\times 13\\-\frac{5}{26}\left(-26\right)-\frac{1}{13}\times 13\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=1,y=4$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-2x-6y=-26,5x+2y=13$$

כדי להפוך את ‎-2x ו- ‎5x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎5 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-2.

$$5\left(-2\right)x+5\left(-6\right)y=5\left(-26\right),-2\times 5x-2\times 2y=-2\times 13$$

פשט.

$$-10x-30y=-130,-10x-4y=-26$$

החסר את ‎-10x-4y=-26 מ- ‎-10x-30y=-130 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-10x+10x-30y+4y=-130+26$$

הוסף את ‎-10x ל- ‎10x. האיברים ‎-10x ו- ‎10x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-30y+4y=-130+26$$

הוסף את ‎-30y ל- ‎4y.

$$-26y=-130+26$$

הוסף את ‎-130 ל- ‎26.

$$-26y=-104$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-26.

$$y=4$$

השתמש ב- ‎4 במקום y ב- ‎5x+2y=13. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$5x+2\times 4=13$$

הכפל את ‎2 ב- ‎4.

$$5x+8=13$$

החסר ‎8 משני אגפי המשוואה.

$$5x=5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=4$$