פתור את {l}{-2x+7y=4}{-4x+3y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { - 2 x + 7 y = 4 } \\ { - 4 x + 3 y = 2 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-\frac{1}{11}\approx -0.090909091$$

$$y=\frac{6}{11}\approx 0.545454545$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-2x+7y=4,-4x+3y=2$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-2x+7y=4$$

החסר ‎7y משני אגפי המשוואה.

$$-2x=-7y+4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-2.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-7y+4\right)$$

הכפל את ‎-\frac{1}{2} ב- ‎-7y+4.

$$x=\frac{7}{2}y-2$$

השתמש ב- ‎\frac{7y}{2}-2 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-4x+3y=2.

$$-4\left(\frac{7}{2}y-2\right)+3y=2$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎\frac{7y}{2}-2.

$$-14y+8+3y=2$$

הוסף את ‎-14y ל- ‎3y.

$$-11y+8=2$$

החסר ‎8 משני אגפי המשוואה.

$$-11y=-6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-11.

$$y=\frac{6}{11}$$

השתמש ב- ‎\frac{6}{11} במקום y ב- ‎x=\frac{7}{2}y-2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{7}{2}\times \frac{6}{11}-2$$

הכפל את ‎\frac{7}{2} ב- ‎\frac{6}{11} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{21}{11}-2$$

הוסף את ‎-2 ל- ‎\frac{21}{11}.

$$x=-\frac{1}{11}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{1}{11},y=\frac{6}{11}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-2x+7y=4,-4x+3y=2$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-2\times 3-7\left(-4\right)}&-\frac{7}{-2\times 3-7\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{-2\times 3-7\left(-4\right)}&-\frac{2}{-2\times 3-7\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}&-\frac{7}{22}\\\frac{2}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}\times 4-\frac{7}{22}\times 2\\\frac{2}{11}\times 4-\frac{1}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{11}\\\frac{6}{11}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-\frac{1}{11},y=\frac{6}{11}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-2x+7y=4,-4x+3y=2$$

כדי להפוך את ‎-2x ו- ‎-4x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-4 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-2.

$$-4\left(-2\right)x-4\times 7y=-4\times 4,-2\left(-4\right)x-2\times 3y=-2\times 2$$

פשט.

$$8x-28y=-16,8x-6y=-4$$

החסר את ‎8x-6y=-4 מ- ‎8x-28y=-16 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$8x-8x-28y+6y=-16+4$$

הוסף את ‎8x ל- ‎-8x. האיברים ‎8x ו- ‎-8x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-28y+6y=-16+4$$

הוסף את ‎-28y ל- ‎6y.

$$-22y=-16+4$$

הוסף את ‎-16 ל- ‎4.

$$-22y=-12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-22.

$$y=\frac{6}{11}$$

השתמש ב- ‎\frac{6}{11} במקום y ב- ‎-4x+3y=2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-4x+3\times \frac{6}{11}=2$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{6}{11}.

$$-4x+\frac{18}{11}=2$$

החסר ‎\frac{18}{11} משני אגפי המשוואה.

$$-4x=\frac{4}{11}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-4.

$$x=-\frac{1}{11}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{1}{11},y=\frac{6}{11}$$