פתור את {l}{-2x+3y=13}{6x-5y=-3}

$$\left. \begin{array} { l } { - 2 x + 3 y = 13 } \\ { 6 x - 5 y = - 3 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=7$$

$$y=9$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-2x+3y=13,6x-5y=-3$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-2x+3y=13$$

החסר ‎3y משני אגפי המשוואה.

$$-2x=-3y+13$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-2.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-3y+13\right)$$

הכפל את ‎-\frac{1}{2} ב- ‎-3y+13.

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{13}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{3y-13}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎6x-5y=-3.

$$6\left(\frac{3}{2}y-\frac{13}{2}\right)-5y=-3$$

הכפל את ‎6 ב- ‎\frac{3y-13}{2}.

$$9y-39-5y=-3$$

הוסף את ‎9y ל- ‎-5y.

$$4y-39=-3$$

הוסף ‎39 לשני אגפי המשוואה.

$$4y=36$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$y=9$$

השתמש ב- ‎9 במקום y ב- ‎x=\frac{3}{2}y-\frac{13}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{3}{2}\times 9-\frac{13}{2}$$

הכפל את ‎\frac{3}{2} ב- ‎9.

$$x=\frac{27-13}{2}$$

הוסף את ‎-\frac{13}{2} ל- ‎\frac{27}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=7$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=7,y=9$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-2x+3y=13,6x-5y=-3$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-2&3\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-2&3\\6&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&3\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-3\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-3\end{matrix}\right)$$

עבור מטריצת 2\times 2 ‎\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)‎, המטריצה ההפוכה היא ‎\left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)‎, כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-2\left(-5\right)-3\times 6}&-\frac{3}{-2\left(-5\right)-3\times 6}\\-\frac{6}{-2\left(-5\right)-3\times 6}&-\frac{2}{-2\left(-5\right)-3\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{8}&\frac{3}{8}\\\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{8}\times 13+\frac{3}{8}\left(-3\right)\\\frac{3}{4}\times 13+\frac{1}{4}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=7,y=9$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-2x+3y=13,6x-5y=-3$$

כדי להפוך את ‎-2x ו- ‎6x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎6 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-2.

$$6\left(-2\right)x+6\times 3y=6\times 13,-2\times 6x-2\left(-5\right)y=-2\left(-3\right)$$

פשט.

$$-12x+18y=78,-12x+10y=6$$

החסר את ‎-12x+10y=6 מ- ‎-12x+18y=78 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-12x+12x+18y-10y=78-6$$

הוסף את ‎-12x ל- ‎12x. האיברים ‎-12x ו- ‎12x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$18y-10y=78-6$$

הוסף את ‎18y ל- ‎-10y.

$$8y=78-6$$

הוסף את ‎78 ל- ‎-6.

$$8y=72$$

חלק את שני האגפים ב- ‎8.

$$y=9$$

השתמש ב- ‎9 במקום y ב- ‎6x-5y=-3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$6x-5\times 9=-3$$

הכפל את ‎-5 ב- ‎9.

$$6x-45=-3$$

הוסף ‎45 לשני אגפי המשוואה.

$$6x=42$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$x=7$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=7,y=9$$