פתור את {l}{-15B-3A=-14}{-5A+B=7}

$$\left. \begin{array} { l } { - 15 B - 3 A = - 14 } \\ { - 5 A + B = 7 } \end{array} \right.$$

פתור עבור B, A

$$B = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6} \approx 1.166666667$$

$$A = -\frac{7}{6} = -1\frac{1}{6} \approx -1.166666667$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-15B-3A=-14,B-5A=7$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור B על-ידי בידוד B בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-15B-3A=-14$$

הוסף ‎3A לשני אגפי המשוואה.

$$-15B=3A-14$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-15.

$$B=-\frac{1}{15}\left(3A-14\right)$$

הכפל את ‎-\frac{1}{15} ב- ‎3A-14.

$$B=-\frac{1}{5}A+\frac{14}{15}$$

השתמש ב- ‎-\frac{A}{5}+\frac{14}{15} במקום ‎B במשוואה השניה, ‎B-5A=7.

$$-\frac{1}{5}A+\frac{14}{15}-5A=7$$

הוסף את ‎-\frac{A}{5} ל- ‎-5A.

$$-\frac{26}{5}A+\frac{14}{15}=7$$

החסר ‎\frac{14}{15} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{26}{5}A=\frac{91}{15}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{26}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$A=-\frac{7}{6}$$

השתמש ב- ‎-\frac{7}{6} במקום A ב- ‎B=-\frac{1}{5}A+\frac{14}{15}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את B ישירות.

$$B=-\frac{1}{5}\left(-\frac{7}{6}\right)+\frac{14}{15}$$

הכפל את ‎-\frac{1}{5} ב- ‎-\frac{7}{6} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$B=\frac{7}{30}+\frac{14}{15}$$

הוסף את ‎\frac{14}{15} ל- ‎\frac{7}{30} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$B=\frac{7}{6}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$B=\frac{7}{6},A=-\frac{7}{6}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-15B-3A=-14,B-5A=7$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-15&-3\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-15&-3\\1&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-15&-3\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15&-3\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-15&-3\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\7\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-15&-3\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-15&-3\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\7\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-15\left(-5\right)-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{-15\left(-5\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{-15\left(-5\right)-\left(-3\right)}&-\frac{15}{-15\left(-5\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\7\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{78}&\frac{1}{26}\\-\frac{1}{78}&-\frac{5}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{78}\left(-14\right)+\frac{1}{26}\times 7\\-\frac{1}{78}\left(-14\right)-\frac{5}{26}\times 7\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{6}\\-\frac{7}{6}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה B ו- A.

$$B=\frac{7}{6},A=-\frac{7}{6}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-15B-3A=-14,B-5A=7$$

כדי להפוך את ‎-15B ו- ‎B לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-15.

$$-15B-3A=-14,-15B-15\left(-5\right)A=-15\times 7$$

פשט.

$$-15B-3A=-14,-15B+75A=-105$$

החסר את ‎-15B+75A=-105 מ- ‎-15B-3A=-14 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-15B+15B-3A-75A=-14+105$$

הוסף את ‎-15B ל- ‎15B. האיברים ‎-15B ו- ‎15B מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-3A-75A=-14+105$$

הוסף את ‎-3A ל- ‎-75A.

$$-78A=-14+105$$

הוסף את ‎-14 ל- ‎105.

$$-78A=91$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-78.

$$A=-\frac{7}{6}$$

השתמש ב- ‎-\frac{7}{6} במקום A ב- ‎B-5A=7. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את B ישירות.

$$B-5\left(-\frac{7}{6}\right)=7$$

הכפל את ‎-5 ב- ‎-\frac{7}{6}.

$$B+\frac{35}{6}=7$$

החסר ‎\frac{35}{6} משני אגפי המשוואה.

$$B=\frac{7}{6}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$B=\frac{7}{6},A=-\frac{7}{6}$$