פתור את {l}{-15A+3B=21}{-15B-3A=-14}

$$\left. \begin{array} { l } { - 15 A + 3 B = 21 } \\ { - 15 B - 3 A = - 14 } \end{array} \right.$$

פתור עבור A, B

$$A = -\frac{7}{6} = -1\frac{1}{6} \approx -1.166666667$$

$$B = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6} \approx 1.166666667$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-15A+3B=21,-3A-15B=-14$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור A על-ידי בידוד A בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-15A+3B=21$$

החסר ‎3B משני אגפי המשוואה.

$$-15A=-3B+21$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-15.

$$A=-\frac{1}{15}\left(-3B+21\right)$$

הכפל את ‎-\frac{1}{15} ב- ‎-3B+21.

$$A=\frac{1}{5}B-\frac{7}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{-7+B}{5} במקום ‎A במשוואה השניה, ‎-3A-15B=-14.

$$-3\left(\frac{1}{5}B-\frac{7}{5}\right)-15B=-14$$

הכפל את ‎-3 ב- ‎\frac{-7+B}{5}.

$$-\frac{3}{5}B+\frac{21}{5}-15B=-14$$

הוסף את ‎-\frac{3B}{5} ל- ‎-15B.

$$-\frac{78}{5}B+\frac{21}{5}=-14$$

החסר ‎\frac{21}{5} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{78}{5}B=-\frac{91}{5}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{78}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$B=\frac{7}{6}$$

השתמש ב- ‎\frac{7}{6} במקום B ב- ‎A=\frac{1}{5}B-\frac{7}{5}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את A ישירות.

$$A=\frac{1}{5}\times \frac{7}{6}-\frac{7}{5}$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎\frac{7}{6} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$A=\frac{7}{30}-\frac{7}{5}$$

הוסף את ‎-\frac{7}{5} ל- ‎\frac{7}{30} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$A=-\frac{7}{6}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$A=-\frac{7}{6},B=\frac{7}{6}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-15A+3B=21,-3A-15B=-14$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{-15\left(-15\right)-3\left(-3\right)}&-\frac{3}{-15\left(-15\right)-3\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{-15\left(-15\right)-3\left(-3\right)}&-\frac{15}{-15\left(-15\right)-3\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{78}&-\frac{1}{78}\\\frac{1}{78}&-\frac{5}{78}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{78}\times 21-\frac{1}{78}\left(-14\right)\\\frac{1}{78}\times 21-\frac{5}{78}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{6}\\\frac{7}{6}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה A ו- B.

$$A=-\frac{7}{6},B=\frac{7}{6}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-15A+3B=21,-3A-15B=-14$$

כדי להפוך את ‎-15A ו- ‎-3A לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-15.

$$-3\left(-15\right)A-3\times 3B=-3\times 21,-15\left(-3\right)A-15\left(-15\right)B=-15\left(-14\right)$$

פשט.

$$45A-9B=-63,45A+225B=210$$

החסר את ‎45A+225B=210 מ- ‎45A-9B=-63 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$45A-45A-9B-225B=-63-210$$

הוסף את ‎45A ל- ‎-45A. האיברים ‎45A ו- ‎-45A מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-9B-225B=-63-210$$

הוסף את ‎-9B ל- ‎-225B.

$$-234B=-63-210$$

הוסף את ‎-63 ל- ‎-210.

$$-234B=-273$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-234.

$$B=\frac{7}{6}$$

השתמש ב- ‎\frac{7}{6} במקום B ב- ‎-3A-15B=-14. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את A ישירות.

$$-3A-15\times \frac{7}{6}=-14$$

הכפל את ‎-15 ב- ‎\frac{7}{6}.

$$-3A-\frac{35}{2}=-14$$

הוסף ‎\frac{35}{2} לשני אגפי המשוואה.

$$-3A=\frac{7}{2}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-3.

$$A=-\frac{7}{6}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$A=-\frac{7}{6},B=\frac{7}{6}$$