פתור את {l}{-10y+9x=-9}{10y+5x=-5}

$$\left. \begin{array} { l } { - 10 y + 9 x = - 9 } \\ { 10 y + 5 x = - 5 } \end{array} \right.$$

פתור עבור y, x

$$x=-1$$

$$y=0$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-10y+9x=-9,10y+5x=-5$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור y על-ידי בידוד y בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-10y+9x=-9$$

החסר ‎9x משני אגפי המשוואה.

$$-10y=-9x-9$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-10.

$$y=-\frac{1}{10}\left(-9x-9\right)$$

הכפל את ‎-\frac{1}{10} ב- ‎-9x-9.

$$y=\frac{9}{10}x+\frac{9}{10}$$

השתמש ב- ‎\frac{9+9x}{10} במקום ‎y במשוואה השניה, ‎10y+5x=-5.

$$10\left(\frac{9}{10}x+\frac{9}{10}\right)+5x=-5$$

הכפל את ‎10 ב- ‎\frac{9+9x}{10}.

$$9x+9+5x=-5$$

הוסף את ‎9x ל- ‎5x.

$$14x+9=-5$$

החסר ‎9 משני אגפי המשוואה.

$$14x=-14$$

חלק את שני האגפים ב- ‎14.

$$x=-1$$

השתמש ב- ‎-1 במקום x ב- ‎y=\frac{9}{10}x+\frac{9}{10}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y=\frac{9}{10}\left(-1\right)+\frac{9}{10}$$

הכפל את ‎\frac{9}{10} ב- ‎-1.

$$y=\frac{-9+9}{10}$$

הוסף את ‎\frac{9}{10} ל- ‎-\frac{9}{10} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$y=0$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=0,x=-1$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-10y+9x=-9,10y+5x=-5$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{-10\times 5-9\times 10}&-\frac{9}{-10\times 5-9\times 10}\\-\frac{10}{-10\times 5-9\times 10}&-\frac{10}{-10\times 5-9\times 10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{28}&\frac{9}{140}\\\frac{1}{14}&\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{28}\left(-9\right)+\frac{9}{140}\left(-5\right)\\\frac{1}{14}\left(-9\right)+\frac{1}{14}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה y ו- x.

$$y=0,x=-1$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-10y+9x=-9,10y+5x=-5$$

כדי להפוך את ‎-10y ו- ‎10y לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎10 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-10.

$$10\left(-10\right)y+10\times 9x=10\left(-9\right),-10\times 10y-10\times 5x=-10\left(-5\right)$$

פשט.

$$-100y+90x=-90,-100y-50x=50$$

החסר את ‎-100y-50x=50 מ- ‎-100y+90x=-90 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-100y+100y+90x+50x=-90-50$$

הוסף את ‎-100y ל- ‎100y. האיברים ‎-100y ו- ‎100y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$90x+50x=-90-50$$

הוסף את ‎90x ל- ‎50x.

$$140x=-90-50$$

הוסף את ‎-90 ל- ‎-50.

$$140x=-140$$

חלק את שני האגפים ב- ‎140.

$$x=-1$$

השתמש ב- ‎-1 במקום x ב- ‎10y+5x=-5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$10y+5\left(-1\right)=-5$$

הכפל את ‎5 ב- ‎-1.

$$10y-5=-5$$

הוסף ‎5 לשני אגפי המשוואה.

$$10y=0$$

חלק את שני האגפים ב- ‎10.

$$y=0$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=0,x=-1$$