פתור את {l}{-10x-7y=-5}{7x+5y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { - 10 x - 7 y = - 5 } \\ { 7 x + 5 y = 4 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-3$$

$$y=5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-10x-7y=-5,7x+5y=4$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-10x-7y=-5$$

הוסף ‎7y לשני אגפי המשוואה.

$$-10x=7y-5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-10.

$$x=-\frac{1}{10}\left(7y-5\right)$$

הכפל את ‎-\frac{1}{10} ב- ‎7y-5.

$$x=-\frac{7}{10}y+\frac{1}{2}$$

השתמש ב- ‎-\frac{7y}{10}+\frac{1}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎7x+5y=4.

$$7\left(-\frac{7}{10}y+\frac{1}{2}\right)+5y=4$$

הכפל את ‎7 ב- ‎-\frac{7y}{10}+\frac{1}{2}.

$$-\frac{49}{10}y+\frac{7}{2}+5y=4$$

הוסף את ‎-\frac{49y}{10} ל- ‎5y.

$$\frac{1}{10}y+\frac{7}{2}=4$$

החסר ‎\frac{7}{2} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{1}{10}y=\frac{1}{2}$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎10.

$$y=5$$

השתמש ב- ‎5 במקום y ב- ‎x=-\frac{7}{10}y+\frac{1}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{7}{10}\times 5+\frac{1}{2}$$

הכפל את ‎-\frac{7}{10} ב- ‎5.

$$x=\frac{-7+1}{2}$$

הוסף את ‎\frac{1}{2} ל- ‎-\frac{7}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-3,y=5$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-10x-7y=-5,7x+5y=4$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-10&-7\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-10&-7\\7&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&-7\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&-7\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-7\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-7\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-7\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{-10\times 5-\left(-7\times 7\right)}&-\frac{-7}{-10\times 5-\left(-7\times 7\right)}\\-\frac{7}{-10\times 5-\left(-7\times 7\right)}&-\frac{10}{-10\times 5-\left(-7\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5&-7\\7&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\left(-5\right)-7\times 4\\7\left(-5\right)+10\times 4\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\5\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-3,y=5$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-10x-7y=-5,7x+5y=4$$

כדי להפוך את ‎-10x ו- ‎7x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎7 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-10.

$$7\left(-10\right)x+7\left(-7\right)y=7\left(-5\right),-10\times 7x-10\times 5y=-10\times 4$$

פשט.

$$-70x-49y=-35,-70x-50y=-40$$

החסר את ‎-70x-50y=-40 מ- ‎-70x-49y=-35 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-70x+70x-49y+50y=-35+40$$

הוסף את ‎-70x ל- ‎70x. האיברים ‎-70x ו- ‎70x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-49y+50y=-35+40$$

הוסף את ‎-49y ל- ‎50y.

$$y=-35+40$$

הוסף את ‎-35 ל- ‎40.

$$y=5$$

השתמש ב- ‎5 במקום y ב- ‎7x+5y=4. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$7x+5\times 5=4$$

הכפל את ‎5 ב- ‎5.

$$7x+25=4$$

החסר ‎25 משני אגפי המשוואה.

$$7x=-21$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$x=-3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-3,y=5$$